Strategie

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Strategie definiert die Handlungen, die ein Spieler bei jeder Informationsmenge ausführt, bei der er sich entscheiden muss (Dutta 1999, 20).

Ausführliche Definitionen

Der Begriff Strategie wurde zum ersten Mal im militärischen Bereich verwendet. Sun Tsu`s Klassiker "Die Kunst des Krieges" (ca. 500 v. Christus) wird allgemein als erste Strategieabhandlung bezeichnet (Paul and Wollny 2014, 13). Im Bereich der Wirtschaftswissenschaften wurde dieser Ausdruck erst im Jahr 1944 durch Neumann und Morgenstern mit der Spieltheorie eingeführt (Paul and Wollny 2014, 13).

In der Spieltheorie ist die Strategie eines Spielers eine der Möglichkeiten, die man in einer Umgebung auswählt, in der das Resultat nicht ausschließlich von der eigenen Handlung, sondern ebenfalls von den Handlungen anderer abhängt (Polak 2007, 1161). Die Strategie eines Spielers bestimmt die Handlung, die dieser in den verschiedenen Phasen des Spiels ausführen wird. Somit wird unter dem Begriff Strategie der gesamte Spielplan für das komplette Spiel verstanden.

Die Strategie ist abzugrenzen von dem Begriff Spielzug. Unter dem Begriff „Zug“ wird im Folgenden eine separate Entscheidung eines Spielers zu einem speziellen Zeitpunkt des Spiels verstanden. Der vollständige Verlauf eines Spiels ergibt sich also durch die Abfolge aller von den Spielern ausgeführten Zügen (Winter 2019, 8). Beispielsweise werden bei einem Schachspiel viele Züge ausgeführt, um den Gegner am Ende Schachmatt zu setzen. Die Strategie hilft dem Spieler, bei jedem Zug und in der jeweiligen Situation eine Entscheidung zu treffen.

Strategiemenge

Unter der Strategiemenge (auch Strategieset genannt) versteht man die Strategien, welche einem Spieler während des Spiels zur Verfügung stehen.

In einem Spiel ist die Anzahl der zur Verfügung stehenden Strategien endlich oder unendlich. Einem Spieler stehen bei dem bekannten Schere-Stein-Papierspiel beispielsweise nur drei verschiedene Strategien zur Verfügung. Das Spiel besteht aus einem einzigen Zug jedes Spielers und die Wahl der Strategie erfolgt ohne Kenntnis des Anderen, sodass jeder Spieler eine endliche Strategie besitzt.

Die Strategiemenge wird bei dynamischen Spielen durch die möglichen Regeln begrenzt. Beispielsweise gibt es bei dem Ultimatum-Spiel ein Akteur (Spieler 1), welcher ein Angebot über die Aufteilung eines vorgegebenen Geldbetrages macht, das Spieler 2 anschließend annehmen oder ablehnen kann (Erlei 2018, 1). Hierbei gibt es für den zweiten Spieler eine festgelegte bzw. eine begrenzte Anzahl von Strategien, entweder akzeptieren oder ablehnen.

Bei dem "Kuchenschneidespiel" (Rubinsteins Verhandlungsmodell) besitzt man stattdessen ein unbegrenztes Kontinuum von Strategien. Hierbei wird der Kuchen irgendwo zwischen null und hundert Prozent angeschnitten.

Auswahl der Strategie

In der angewandten Spieltheorie sind die Informationen über die Anzahl der zur Verfügung stehenden Strategien, sowie die Auswahl einer Strategie wesentliche Bestandteile, die ein Spiel lösbar und gleichzeitig aussagekräftig machen. Der einzelne Spieler kann das Wissen über das Vorhandensein einer großen Menge an Strategien nutzen, um die Strategieräume einzuschränken und somit das Spiel einfacher zu gestalten.

Beispielsweise kann ein Spieler bei dem oben erläuterten Ultimatum-Spiel im Detail auch folgende Strategien vornehmen:

1) Angebote von (1€, 3€, 5€ … 17€) ablehnen oder

2) Angebote von (0€, 2€, 4€ … 18€) annehmen.

Durch die Menge der resultierenden Strategien ergeben sich große Strategieräume.

Ein Spieltheoretiker könnte stattdessen glauben, dass er die Auswahl der Strategie auf

1) jedes Angebot ablehnen (≤ x) oder

2) jedes Angebot annehmen (> x); für x 0€, 1€, 2€, 3€ ... 18€)

einschränken kann.

Zusammenspiel Strategiemenge und Strategiekombination

Eine spieltheoretische Situation wird für einen Spieler immer dann zu einem Entscheidungsproblem, wenn er aus der Strategiemenge mehrere Strategien für seinen Zug zur Verfügung hat. Um die Situation genau analysieren zu können, muss zunächst herausgefiltert werden, welche möglichen Strategien dem Spieler zur Verfügung stehen. Als Strategiemenge bezeichnet man somit die Menge aller Strategien, die einem Spieler insgesamt zur Auswahl stehen (Winter 2019, 10).

Beispielsweise sind die zur Verfügung stehenden Strategien, bei dem oben aufgeführten Schere-Stein-Papierspiel, alle gleich. In jedem Zug hat der Spieler die Möglichkeit aus drei verschiedenen Strategien zu wählen. Bei dem Schachspiel sind die Mengen jedoch unterschiedlich, da in jedem Zug eine andere verfügbare Menge an Strategien erzeugt wird.

Die Strategiekombination (auch als Strategieprofil bezeichnet) ist eine Reihe von Strategien, die die Aktionen in einem Spiel spezifizieren. Da jede Strategie jedes Spielers jeweils einen vollständigen Spielplan darstellt, ergibt sich aus der Kombination von je einer Strategie pro Spieler ein kompletter möglicher Spielverlauf (Winter 2019, 11). Bei dem herkömmlichen Schere-Stein-Papierspiel ergeben sich aus der Strategiemenge somit 9 verschiedene Strategiekombinationen.

  1. Schere 1. Stein [Spieler 2 gewinnt]
  2. Schere 2. Papier [Spieler 1 gewinnt]
  3. Schere 3. Stein [Spieler 2 gewinnt]
  4. Papier ...

Reine Strategie

Bei genauer Betrachtung wurde in den bisherigen Textabschnitten nur von sogenannten reinen Strategien gesprochen. Die reine Strategie zeichnet aus, dass sich jeder Spieler für eine bestimmte Aktion entscheidet. Diese ist somit die beste Antwort auf die Strategie des anderen Spielers.

In der Abbildung 1 ist das allgemein bekannte Münzspiel abgebildet. Hierbei entscheidet sich der jeweilige Spieler jede Runde, ob er auf Kopf oder Zahl setzt. Von dieser Strategie wird bzw. kann im Verlauf des Spiels nicht mehr abgewichen werden. Häufig besitzen reine Strategien kein Nash-Gleichgewicht. Für das Münzspiel bedeutet dies, dass es keine Strategiekombination gibt, mit der ein einzelner Spieler einen Vorteil für sich erzielen kann, indem er allein seine Strategie modifiziert.

Abbildung 1: Kopf oder Zahl Spiel

Gemischte Strategie

Gemischte Strategien sind dadurch charakterisiert, dass durch einen Zufallsmechanismus bestimmt wird, welche Strategie gewählt wird. Benutzt der Spieler einen Zufallsmechanismus, um aus verschiedenen reinen Strategien zu wählen, randomisiert bzw. wählt er eine gemischte Strategie (Holler/Illing/Napel 2019, 12). Um in diesem Fall die beste Strategie herauszufiltern, wird eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gewählt. Hierbei wird jede reine Strategie analysiert und eine Wahrscheinlichkeit bestimmt. Anhand dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung hängt die konkrete Realisation, welche Züge ausgeführt werden, ab (Dutta 1999, 104).

Exemplarisch (andere Möglichkeiten vorhanden) wären im Schere-Stein-Papierspiel die gemischten Strategien wie folgt:

  1. wähle "Stein" und "Schere", Wahrscheinlichkeit: 1/2
  2. wähle "Stein", "Schere" und "Papier", Wahrscheinlichkeit: 1/3

Bei einer gewinnmaximierten Denkweise würden die Spieler versuchen ihre erwartete Auszahlung zu erhöhen. Hierbei ergibt sich ein Nash-Gleichgewicht dadurch, dass beide Spieler die Strategie (2.) verwenden. Sobald einer der Spieler diese Strategie ausführt, ist es für die Höhe der Auszahlung egal, welche Strategie der andere Spieler umsetzt. Jedoch ist die Strategieauswahl nicht festgelegt und somit kann der Gegner eine Strategie wählen, die für ihn einen günstigeren Erwartungswert, als die Strategie (2.) hat. Umgekehrt bedeutet das, sollte ein Spieler die Strategie (1.) wählen und wird dies dem Gegner bekannt, so ist er ihm gegenüber im Nachteil.

Illustration

In der Abbildung 2 wird die Auszahlungsmatrix eines Koordinationsspiels (Treffpunkte bei dem Verlieren der anderen Person) dargestellt. A steht beispielsweise für den Marktplatz und B für den Bahnhof. In einer reinen Strategie würde sich der Spieler 1 zum Beispiel für den Marktplatz entscheiden. In der gemischten Strategie wägt er anhand der Wahrscheinlichkeit ab welchen Ort er auswählt.

Abbildung 2: Auszahlungsmatrix Koordinationsspiel

Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung stellt die gemischte Strategie dar.

Beispielsweise wählt Spieler 1 den Marktplatz mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% und Spieler 2 mit einer Wahrscheinlichkeit von 50%. Die Auszahlung beträgt für jeden Spieler 1, da sie sich wiedergefunden haben. Sollte Spieler 1 mit 60% den Bahnhof wählen und Spieler 2 mit ebenfalls 60% den Markplatz, beträgt für beide die Auszahlung 0, da sie sich nicht wiedergefunden haben.

Bedeutung

John Forbes Nash hat in seiner bekannten Arbeit bewiesen, dass es für jedes endliche Spiel ein Gleichgewicht gibt. Jedoch haben die reinen Strategien nicht alle ein Nash-Gleichgewicht. Ein Beispiel für ein Spiel ohne Nash-Gleichgewicht ist das oben angeführte Münzspiel. Viele Spiele haben jedoch ein solches Gleichgewicht.

Spiele mit Nash-Gleichgewicht:

- Koordinationsspiel

- Gefangenendilemma

- Hirschjagd

Kritische Würdigung

In den 1980er Jahren geriet das Konzept der gemischten Strategien ins Wanken, weil es "intuitiv" problematisch war (Aumann 1985, 12). Dem Zufallsmechanismus, der bei gemischten Strategien von zentraler Bedeutung ist, fehlt die Komponente des persönlichen Verhaltens. Selten treffen Menschen ihre Entscheidung rein zufällig. Das Verhaltensproblem wird durch die kognitiven Schwierigkeiten verstärkt, sodass Menschen ohne die Hilfe eines Zufallsgenerators keine zufälligen Ergebnisse erzielen können (Aumann 1985, 13).

Später interpretierten Aumann und Brandenburger das Nash-Gleichgewicht vielmehr als ein Gleichgewicht in Überzeugungen, statt in Handlungen (Aumann and Brandenburger 1995, 1173). Zum Beispiel würde bei dem Schere-Stein-Papierspiel ein Gleichgewicht der Überzeugungen dazu führen, dass jeder Spieler glaubt, der andere würde mit gleicher Wahrscheinlichkeit jede Strategie spielen. Diese Interpretation schwächt jedoch die Vorhersagekraft des Nash-Gleichgewichts, da es in einem solchen Gleichgewicht für jeden Spieler möglich ist, eine reine Strategie zu spielen. Des Weiteren gibt das Modell nicht an, warum und wie die Spieler ihre Entscheidungen zufällig treffen.

Seitdem werden die Ergebnisse der gemischten Strategien von vielen Spieltheoretikern kritisch gesehen. Gemischte Strategien werden jedoch nach wie vor häufig eingesetzt, um Nash-Gleichgewichte in Spielen zu erzielen, in denen kein Gleichgewicht in reinen Strategien besteht.

Verhaltensstrategien

Um die Verhaltensstrategie etwas genauer zu erklären, wird der Begriff des perfekten Erinnerungsvermögens herangezogen.

Kann sich ein Spieler an jedem seiner Entscheidungsknoten an alle Informationen erinnern, über die er früher verfügte (insbesondere auch an seine eigenen Spielzüge), so zeichnet er sich durch ein perfektes Erinnerungsvermögen (Perfect Recall) aus (Holler/Illing/Napel 2019, 46).

Verfügt ein Spieler über ein perfektes Erinnerungsvermögen, so reicht es aus, wie Kuhn (1953) gezeigt hat, sich in Extensivformspielen auf sogenannte Verhaltensstrategien (Behavioral Strategies) zu beschränken. An jedem seiner Entscheidungsknoten (bzw. in jeder seiner Informationsmengen) bestimmt der Spieler eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die ihm dort zur Verfügung stehenden Handlungsalternativen (Holler/Illing/Napel 2019, 46).

Der Unterschied zur gemischten Strategie: Die gemischte Strategie weist der reinen Strategie eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zu. Die Verhaltensstrategie hingegen teilt jedem Informationssatz eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Menge der möglichen Aktionen zu.

Während die beiden Konzepte im Kontext normaler Formspiele sehr eng miteinander verwandt sind, haben sie sehr unterschiedliche Auswirkungen auf umfangreiche Formspiele. Eine gemischte Strategie wählt zufällig einen deterministischen Pfad durch den Spielbaum, während eine Verhaltensstrategie als ein stochastischer Pfad angesehen werden kann.

Kontinuierliche Strategie

Ist die (unendliche) Menge der Handlungen (und somit der Strategien) eines Spielers in einem Spiel nicht abzählbar, wird von kontinuierlichen Strategien gesprochen.

Im bisherigen Verlauf dieses Beitrages wurde stillschweigend davon ausgegangen, dass die Strategiemenge aus einer abzählbaren Anzahl von Strategien besteht. Theoretisch ist trotz dessen der Fall wahrscheinlich, dass es ein Kontinuum von Strategien gibt. Genaugenommen wurde der Fall bereits im Kapitel "Gemischte Strategien" behandelt:

In gemischten Strategien kann die Wahrscheinlichkeit für die Wahl der einzelnen Strategien kontinuierlich variiert werden, sodass unendlich viele gemischte Strategien zur Verfügung stehen (Rieck 1993, 115). Das berühmteste Beispiel ist das sogenannte Cournot-Spiel (Cournot 1838, 68).

Ein weiteres Beispiel könnte ein Spiel sein, bei dem zwei Spieler eine Zahl aus dem reellen Zahlenbereich zwischen 0 und 1 auswählen. Hierbei gewinnt derjenige, der die größte Zahl gewählt hat. Die offensichtliche Auswahl der Zahl 1 ist in diesem Spiel ausgeschlossen.

Strategien der Natur

Würfelspiele sind Spiele, die nicht durch ihre Vorbedingungen eindeutig festgelegt sind. Sie werden auch als sogenannte Spiele mit Zufallszügen verstanden. Hierbei nimmt der Zufall (die Natur) teil und spielt selbst eine gemischte Strategie. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung für das Würfelspiel wäre demzufolge 1/6 für jede Augenzahl.

Die realen Spieler antizipieren jene Strategie der Natur innerhalb ihrer Entscheidungen. Ein realer Spieler verhält sich in der Regel rational und geht strategisch vor, um seine Auszahlungen zu maximieren. Bei der Natur kann von so einem Verhalten nicht ausgegangen werden.

Weitere Beispiele

Das erläuterte Kopf- oder Zahl Spiel besitzt kein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien, dafür aber in gemischten Strategien. Hierbei entscheidet sich der Spieler mit einer Wahrscheinlichkeit 1/2 für Kopf und mit Wahrscheinlichkeit 1/2 für Zahl.

Ein anderes Beispiel für dieses Kopf- oder Zahl Spiel ist das Elfmeterschießen im Fußball. Hierbei muss der Torwart bei jedem Schuss entscheiden, ob er in die linke oder rechte Ecke des Tores springt. Der Torwart erhält bei der Wahl der richtigen Seite (Torschuss abgewehrt) eine Auszahlung, der Torschütze nicht. Kritiker könnten einwenden, dass der Torhüter in einer besseren Position ist und nur auf den abgegebenen Torschuss reagiert. Die Praxis beweist aber, dass die menschliche Reaktionszeit nicht so ausgereift ist, um die Flugbahn des Balls bei hoher Geschwindigkeit analysieren zu können. Torschütze und Torhüter müssen sich also simultan entscheiden, welche Strategie sie verwenden. In einer Untersuchung wurden Daten zum Test der simultanen Entscheidung ausgewertet (Berger and Hammer 2017, 29). In Abbildung 3 werden die Ergebnisse dieser Untersuchung dargestellt.

Abbildung 3: Elfmeterschießen

Die These: Die vier Kombinationen aus Schussrichtung und Abwehrpositionen beider Spieler sind gleich verteilt.

Voraussetzungen: Torschütze und Torhüter verhalten sich rational und treffen ihre Entscheidung simultan.

Ergebnis: Jede Kombination hat die ungefähr gleich erwartete Wahrscheinlichkeit. (1/4 für jede Entscheidung)

Hierbei zeigt sich, dass die Fußballspieler der vorgestellten gemischten Strategie, mit einer Abwägung der Wahrscheinlichkeiten nahe kommen.

Weblinks

Kategorisierung nach der JEL-Klassifikation

C Mathematical and Quantitative Methods

  • C7 Game Theory and Bargaining Theory
    • C700 General

Literatur

  • Aumann, Robert. 1985. What is Game Theory Trying to accomplish?
  • Aumann, Robert; Brandenburger, Adam. 1995. Epistemic Conditions for Nash Equilibrium.
  • Bartholomae, Florian; Wiens, Marcus. 2016. Spieltheorie: Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch. ISBN 978-3-8349-4420-7.
  • Berger, Roger; Hammer, Rupert. 2007. Links oder rechts; das ist hier die Frage, Arbeitsbericht des Instituts für Soziologie Leipzig.
  • Berninghaus, Siegfried K.; Ehrhart, Karl-Martin; Güth, Werner. 2010. Strategische Spiele: Eine Einführung in die Spieltheorie. ISBN 978-3-642-11651-3.
  • Ben, Polak. 2007. Game Theory: Lecture 1 Transcript ECON 159, Open Yale Courses.
  • Dixit, Avinash K., Susan Skeath und David Reiley. 2015. Games of strategy: 4. ed. New York: W. W. Norton & Co. ISBN: 978-0393919684.
  • Dutta, Prajit K. 1999. Strategies and games: Theory and practice. Cambridge, Mass. MIT Press. https://b-ok.org/book/2640653/e56341.
  • Erlei, Mathias. 2018. Ultimatumspiel: Gabler Wirtschaftslexikon.
  • Harsanyi, John. 1973. Games with randomly disturbed payoffs: a new rationale for mixed-strategy equilibrium points"ation of Game Theory.
  • Holler, Manfred J.; Illing, Gerhard; Napel, Stefan. 2019. Einführung in die Spieltheorie. ISBN 978-3-642-31963-1.
  • Holt, Charles A. 2007. Markets, Games, & Strategic Behavior: Boston, Mass. Pearson/Addison Wesley. ISBN: 978-0-321-41931-6.
  • Paul, Herbert; Wollny, Volrad. 2014. Instrumente des Strategischen Managements: Grundlagen und Anwendung. ISBN 978-3-11-035059-3.
  • Rieck, Christian. 1993. Spieltheorie: Einführung für Wirtschafts- und Sozialwissenschaftler. ISBN 978-3-322-87083-4.
  • Rubinstein, Ariel. 1991. Comments on the interpretation of Game Theory.
  • Winter, Stefan. 2019. Grundzüge der Spieltheorie. ISBN 978-3-662-44422-1.
  • Watson, Joel. 2013. Strategy: An introduction to game theory. 3. ed. New York: Norton. ISBN: 978-0-393-91838-0.