Difference between revisions of "Strategie"

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Strategie definiert die Handlungen, die ein Spieler bei jeder [[Informationsmenge]] ausführt, bei der er sich entscheiden muss (Dutta 1999, 20).
 
Strategie definiert die Handlungen, die ein Spieler bei jeder [[Informationsmenge]] ausführt, bei der er sich entscheiden muss (Dutta 1999, 20).
  
In der Spieltheorie ist die Strategie eines Spielers eine der Möglichkeiten, die man in einer Umgebung auswählt, in der das Resultat nicht bloß von der eigenen Handlung, stattdessen ebenfalls von den Handlungen anderer abhängt (Polak, 2007).  Die Strategie eines Spielers bestimmt die Handlung, die der Spieler in den verschiedenen Phasen des Spiels ausführen wird. Somit wird unter dem Begriff Strategie der gesamte Spielplan für das komplette Spiel verstanden.
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== Ausführliche Definitionen ==
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Der Begriff '''Strategie''' wurde zum ersten Mal im militärischen Bereich verwendet. Sun Tsu`s Klassiker "Die Kunst des Krieges" (ca. 500 v. Christus) wird allgemein als erste Strategieabhandlung bezeichnet (Paul and Wollny 2014, 13). Im Bereich der Wirtschaftswissenschaften wurde dieser Ausdruck erst im Jahr 1944 durch Neumann und Morgenstern mit der [[Spieltheorie]] eingeführt (Paul and Wollny 2014, 13).
  
Die Strategie ist abzugrenzen von einem Spielzug. Unter „Zug“ verstehen wir im Folgenden eine separate Entscheidung eines Spielers zu einem speziellen Zeitpunkt des Spiels. Der vollständige Verlauf eines Spieles ergibt sich also durch die Abfolge aller von den Spielern ausgeführten Zügen (Winter, 2018). Beispielsweise werden bei einem Schachspiel viele Züge ausgeführt um den Gegner am Ende Schachmatt zu setzen. Die Strategie auf der anderen Seite hilft dem Spieler, bei jedem Zug, in der jeweiligen Situation eine Entscheidung zu treffen.
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In der [[Spieltheorie]] ist die Strategie eines Spielers eine der Möglichkeiten, die man in einer Umgebung auswählt, in der das Resultat nicht ausschließlich von der eigenen Handlung, sondern ebenfalls von den Handlungen anderer abhängt (Polak 2007, 1161). Die Strategie eines Spielers bestimmt die Handlung, die dieser in den verschiedenen Phasen des Spiels ausführen wird. Somit wird unter dem Begriff Strategie der gesamte Spielplan für das komplette Spiel verstanden (vollständiger Verhaltensplan).
  
== Strategie Set ==
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Die Strategie ist abzugrenzen von dem Begriff [[Strategischer Zug|Spielzug]]. Unter dem Begriff „Zug“ wird im Folgenden eine separate Entscheidung eines Spielers zu einem speziellen Zeitpunkt des Spiels verstanden. Der vollständige Verlauf eines Spiels ergibt sich also durch die Abfolge aller von den Spielern ausgeführten Zügen (Winter 2019, 8). Beispielsweise werden bei einem Schachspiel viele Züge ausgeführt, um den Gegner am Ende Schachmatt zu setzen. Die Strategie hilft dem Spieler, bei jedem Zug und in der jeweiligen Situation eine Entscheidung zu treffen.
Unter dem Strategieset (auch Strategiemenge genannt) versteht man die Strategien, welche einem Spieler während des Spieles zur Verfügung stehen.
 
  
In dem Strategieset ist die Anzahl der zur Verfügung stehenden Strategien endlich oder unendlich. Zum Beispiel stehen einem Spieler bei dem bekannten Schere-Stein-Papierspiel nur drei verschiedene Strategien zur Verfügung. Das Spiel besteht aus einem einzigen Zug jedes Spielers und die Wahl der Strategie erfolgt ohne Kenntnis des anderen, sodass jeder Spieler eine endliche Strategie hat.  
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== Strategiemenge ==
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Unter der Strategiemenge (auch Strategieset genannt) versteht man die Strategien, welche einem Spieler während des Spiels zur Verfügung stehen.
  
Bei dem "Kuchenschneidespiel" hat man stattdessen ein unbegrenztes Kontinuum von Strategien. Hierbei schneiden sie den Kuchen irgendwo zwischen null und hundert Prozent.  
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In einem Spiel ist die Anzahl der zur Verfügung stehenden Strategien endlich oder unendlich. Einem Spieler stehen bei dem bekannten [https://de.wikipedia.org/wiki/Schere,_Stein,_Papier Schere-Stein-Papierspiel] beispielsweise nur drei verschiedene Strategien zur Verfügung. Das Spiel besteht aus einem einzigen Zug jedes Spielers und die Wahl der Strategie erfolgt ohne Kenntnis des Anderen, sodass jeder Spieler eine endliche Strategie besitzt.  
  
Das Strategieset wird bei dynamischen Spielen durch die möglichen Regeln begrenzt. Beispielsweise gibt es bei dem Ultimatum-Spiel ein Aktuer (Spieler 1), welcher ein Angebot über die Aufteilung eines vorgegebenes Geldbetrages macht, das Spieler 2 anschließend annehmen oder ablehnen kann (Erlei, 2018). Hierbei gibt es für den zweiten Spieler eine festgelegte bzw. eine begrenzte Anzahl von Strategie, nämlich zu akzeptieren oder abzulehnen.
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Die Strategiemenge wird bei dynamischen Spielen durch die möglichen Regeln begrenzt. Beispielsweise gibt es bei dem [https://de.wikipedia.org/wiki/Ultimatumspiel Ultimatum-Spiel] ein Akteur (Spieler 1), welcher ein Angebot über die Aufteilung eines vorgegebenen Geldbetrages macht, das Spieler 2 anschließend annehmen oder ablehnen kann (Erlei 2018, 1). Hierbei gibt es für den zweiten Spieler eine festgelegte bzw. eine begrenzte Anzahl von Strategien, entweder akzeptieren oder ablehnen.  
  
=== Auswahl des Strategieset ===
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Bei dem "Kuchenschneidespiel" (Rubinsteins Verhandlungsmodell) besitzt man stattdessen ein unbegrenztes Kontinuum von Strategien. Hierbei wird der Kuchen irgendwo zwischen null und hundert Prozent angeschnitten.  
In der angewandten Spieltheorie sind die Informationen über die Anzahl der Strategiesätze sowie die Auswahl einer Strategie wesentliche Bestandteile, die ein Spiel lösbar und gleichzeitig aussagekräftig machen. Der einzelne Spieler kann das Wissen über das Vorhandensein einer großen Menge an Strategiesätzen nutzen, um die Strategieräume einzuschränken und somit das Spiel einfacher zu gestalten.
 
  
Beispielsweise kann ein Spieler bei dem oben erläuterten Ultimatum-Spiel im Detail auch folgende Strategien haben:
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=== Auswahl der Strategie ===
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In der angewandten [[Spieltheorie]] sind die Informationen über die Anzahl der zur Verfügung stehenden Strategien, sowie die Auswahl einer Strategie wesentliche Bestandteile, die ein Spiel lösbar und gleichzeitig aussagekräftig machen. Der einzelne Spieler kann das Wissen über das Vorhandensein einer großen Menge an Strategien nutzen, um die Strategieräume einzuschränken und somit das Spiel einfacher zu gestalten.
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Beispielsweise kann ein Spieler bei dem oben erläuterten Ultimatum-Spiel im Detail auch folgende Strategien vornehmen:
  
 
1) Angebote von (1€, 3€, 5€ … 17€) ablehnen oder  
 
1) Angebote von (1€, 3€, 5€ … 17€) ablehnen oder  
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2) Angebote von (0€, 2€, 4€ … 18€) annehmen.
 
2) Angebote von (0€, 2€, 4€ … 18€) annehmen.
  
Durch die Menge der resultierenden Strategien ergeben sich sehr große Strategieräume.  
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Durch die Menge der resultierenden Strategien ergeben sich große Strategieräume.  
  
 
Ein Spieltheoretiker könnte stattdessen glauben, dass er die Auswahl der Strategie auf
 
Ein Spieltheoretiker könnte stattdessen glauben, dass er die Auswahl der Strategie auf
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== Zusammenspiel Strategiemenge und Strategiekombination ==
 
== Zusammenspiel Strategiemenge und Strategiekombination ==
Eine spieltheoretische Situation wird für einen Spieler immer dann zu einem Entscheidungsproblem wenn er aus dem Strategieset mehrere Strategien für seinen Zug zur Verfügung hat. Um die Situation genau analysieren zu können muss man zunächst herausfiltern, welche möglichen Strategien den Spieler zur Verfügung stehen. Als '''Strategiemenge''' bezeichnet man somit die Menge aller Strategien, die einem Spieler überhaupt zur Auswahl stehen (Winter, 2019).
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Eine spieltheoretische Situation wird für einen Spieler immer dann zu einem Entscheidungsproblem, wenn er aus der Strategiemenge mehrere Strategien für seinen Zug zur Verfügung hat. Um die Situation genau analysieren zu können, muss zunächst herausgefiltert werden, welche möglichen Strategien dem Spieler zur Verfügung stehen. Als Strategiemenge bezeichnet man somit die Menge aller Strategien, die einem Spieler insgesamt zur Auswahl stehen (Winter 2019, 10).
  
Beispielsweise sind die Strategiemengen bei dem oben aufgeführten Schere-Stein-Papierspiel alle gleich. Ich habe in jedem Zug die Möglichkeit aus drei verschiedenen Strategien zu wählen. Bei dem Schachspiel sind die Mengen jedoch unterschiedlich, da in jedem Zug eine andere verfügbare Menge an Strategien erzeugt wird.  
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Beispielsweise sind die zur Verfügung stehenden Strategien, bei dem oben aufgeführten Schere-Stein-Papierspiel, alle gleich. In jedem Zug hat der Spieler die Möglichkeit aus drei verschiedenen Strategien zu wählen. Bei dem Schachspiel sind die Mengen jedoch unterschiedlich, da in jedem Zug eine andere verfügbare Menge an Strategien erzeugt wird.  
  
Die '''Strategiekombination''' (manchmal auch als Strategieprofil bezeichnet) ist eine Reihe von Strategien die die Aktionen in einem Spiel spezifizieren. Da jede Strategie jedes Spielers jeweils einen vollständigen Spielplan darstellt, ergibt sich aus der Kombination von je einer Strategie pro Spieler ein kompletter möglicher Spielverlauf (Winter, 2019). Bei dem normalen Schere-Stein-Papierspiel ergeben sich aus der Strategiemenge somit 9 verschiedene Strategiekombinationen.  
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Die '''Strategiekombination''' (auch als Strategieprofil bezeichnet) ist eine Reihe von Strategien, die die Aktionen in einem Spiel spezifizieren. Da jede Strategie jedes Spielers jeweils einen vollständigen Spielplan darstellt, ergibt sich aus der Kombination von je einer Strategie pro Spieler ein kompletter möglicher Spielverlauf (Winter 2019, 11). Bei dem herkömmlichen Schere-Stein-Papierspiel ergeben sich aus der Strategiemenge somit 9 verschiedene Strategiekombinationen.  
 
# Schere 1. Stein      [Spieler 2 gewinnt]
 
# Schere 1. Stein      [Spieler 2 gewinnt]
 
# Schere 2. Papier    [Spieler 1 gewinnt]
 
# Schere 2. Papier    [Spieler 1 gewinnt]
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== Reine Strategie ==
 
== Reine Strategie ==
Bei genauer Betrachtung wurde in den bisherigen Textabschnitten nur von sogenannten ''reinen Strategien'' gesprochen. Die reine Strategie zeichnet aus, dass sich jeder Spieler für eine bestimmte Aktion entscheidet.   
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Bei genauer Betrachtung wurde in den bisherigen Textabschnitten nur von sogenannten ''reinen Strategien'' gesprochen. Die reine Strategie zeichnet aus, dass sich jeder Spieler für '''eine bestimmte Aktion''' entscheidet. Diese ist somit die beste Antwort auf die Strategie des anderen Spielers.   
  
In der Abbildung 1 ist das allgemein bekannte Münzspiel abgebildet. Hierbei entscheidet sich der jeweilige Spieler jede Runde ob er auf Kopf oder Zahl setzt. Von dieser Strategie wird bzw. kann dann auch nicht mehr abgewichen werden. Häufig besitzen reine Strategien kein [[Nash-Gleichgewicht]]. Für das Münzspiel bedeutet das, dass es keine Strategiekombination gibt, mit der ein einzelner Spieler für sich einen Vorteil erzielen kann, indem er allein seine Strategie modifiziert.  [[Datei:Reine Strategie1.jpg|thumbnail|281x281px|alt=|none|Abbildung 1: Reine Strategie]]
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In der Abbildung 1 ist das allgemein bekannte Münzspiel abgebildet. Hierbei entscheidet sich der jeweilige Spieler jede Runde, ob er auf Kopf oder Zahl setzt. Von dieser Strategie wird bzw. kann im Verlauf des Spiels nicht mehr abgewichen werden. Häufig besitzen reine Strategien kein [[Nash-Gleichgewicht]]. Für das Münzspiel bedeutet dies, dass es keine Strategiekombination gibt, mit der ein einzelner Spieler einen Vorteil für sich erzielen kann, indem er allein seine Strategie modifiziert.  [[Datei:Reine Strategie1.jpg|thumbnail|281x281px|alt=|none|Abbildung 1: Kopf oder Zahl Spiel]]
  
 
== Gemischte Strategie ==
 
== Gemischte Strategie ==
Gemischte Strategien sind dadurch charakterisiert, dass durch einen Zufallsmechanismus bestimmt wird, welche Strategie gewählt wird. Benutzt der Spieler einen Zufallsmechanismus, um aus verschiedenen reinen Strategien zu wählen, dann randomisiert er bzw. wählt eine gemischte Strategie (Holler; Illing; Napel, 2019). Um in diesem Fall die beste Strategie herauszufiltern, wird eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gewählt. Hierbei wird jede reine Strategie anaylsiert und eine Wahrscheinlichkeit bestimmt. Anhand dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung hängt die konkrete Realisation, welche Züge ausgeführt werden, ab.  
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[[Gemischte Strategie|Gemischte Strategien]] sind dadurch charakterisiert, dass durch einen Zufallsmechanismus bestimmt wird, welche Strategie gewählt wird. Benutzt der Spieler einen Zufallsmechanismus, um aus verschiedenen reinen Strategien zu wählen, [https://de.wikipedia.org/wiki/Randomisierung randomisiert] bzw. wählt er eine gemischte Strategie (Holler/Illing/Napel 2019, 12). Um in diesem Fall die beste Strategie herauszufiltern, wird eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gewählt. Hierbei wird jede reine Strategie analysiert und eine Wahrscheinlichkeit bestimmt. Anhand dieser '''Wahrscheinlichkeitsverteilung''' hängt die konkrete Realisation, welche Züge ausgeführt werden, ab (Dutta 1999, 104).  
  
 
Exemplarisch (andere Möglichkeiten vorhanden) wären im Schere-Stein-Papierspiel die gemischten Strategien wie folgt:
 
Exemplarisch (andere Möglichkeiten vorhanden) wären im Schere-Stein-Papierspiel die gemischten Strategien wie folgt:
 
# wähle "Stein" und "Schere", Wahrscheinlichkeit: 1/2
 
# wähle "Stein" und "Schere", Wahrscheinlichkeit: 1/2
 
# wähle "Stein", "Schere" und "Papier", Wahrscheinlichkeit: 1/3
 
# wähle "Stein", "Schere" und "Papier", Wahrscheinlichkeit: 1/3
Bei einer gewinnmaximierten Denkweise würden die Spieler versuchen ihre erwartete Auszahlung zu erhöhen. Hierbei ergibt sich ein [[Nash-Gleichgewicht]] dadurch, dass beide Spieler die Strategie (2.) verwenden. Sobald einer der Spieler diese Strategie verwendet ist es für die Höhe der Auszahlung egal, welche Strategie der andere Spieler verwendet. Jedoch ist die Strategieauswahl nicht festgelegt und somit kann der Gegner eine Strategie wählen die für ihn einen günstigeren Erwartungswert als die Strategie (2.) hat. Umgekehrt bedeutet das, sollte ein Spieler die Strategie (1.) wählen und wird dies dem Gegner bekannt so ist er ihn gegenüber im Nachteil.
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Bei einer gewinnmaximierten Denkweise würden die Spieler versuchen ihre erwartete Auszahlung zu erhöhen. Hierbei ergibt sich ein [[Nash-Gleichgewicht]] dadurch, dass beide Spieler die Strategie (2.) verwenden. Sobald einer der Spieler diese Strategie ausführt, ist es für die Höhe der Auszahlung egal, welche Strategie der andere Spieler umsetzt. Jedoch ist die Strategieauswahl nicht festgelegt und somit kann der Gegner eine Strategie wählen, die für ihn einen günstigeren Erwartungswert, als die Strategie (2.) hat. Umgekehrt bedeutet das, sollte ein Spieler die Strategie (1.) wählen und wird dies dem Gegner bekannt, so ist er ihm gegenüber im Nachteil.
  
 
=== Illustration ===
 
=== Illustration ===
+++ Betrachten Sie die Auszahlungsmatrix in der Abbildung 2 (als Koordinationsspiel bezeichnet). Hier wählt ein Spieler die Reihe und der andere eine Spalte. Der Reihenspieler erhält die erste Auszahlung, der Spaltenspieler die zweite. Wenn Row A mit der Wahrscheinlichkeit 1 spielt (d. H. Mit Sicherheit A spielen), spielt er eine reine Strategie. Wenn Column wählt, eine Münze zu werfen und A zu spielen, wenn die Münze Köpfe und B landet, wenn die Münze Schwänze landet, dann spielt er angeblich eine gemischte Strategie und keine reine Strategie.
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In der Abbildung 2 wird die Auszahlungsmatrix eines [https://de.wikipedia.org/wiki/Koordinationsspiel Koordinationsspiels] (Treffpunkte bei dem Verlieren der anderen Person) dargestellt. A steht beispielsweise für den Marktplatz und B für den Bahnhof. In einer reinen Strategie würde sich der Spieler 1 zum Beispiel für den Marktplatz entscheiden. In der gemischten Strategie wägt er anhand der Wahrscheinlichkeit ab welchen Ort er auswählt.
[[Datei:Gemischte Strategie.jpg|none|thumbnail|Abbildung 2: Gemischte Strategie|187x187px]]
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[[Datei:Gemischte Strategie.jpg|thumbnail|Abbildung 2: Auszahlungsmatrix Koordinationsspiel|alt=|none|285x285px]]
  
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Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung stellt die gemischte Strategie dar.
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Beispielsweise wählt Spieler 1 den Marktplatz mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% und Spieler 2 mit einer Wahrscheinlichkeit von 50%. Die Auszahlung beträgt für jeden Spieler 1, da sie sich wiedergefunden haben. Sollte Spieler 1 mit 60% den Bahnhof wählen und Spieler 2 mit ebenfalls 60% den Markplatz, beträgt für beide die Auszahlung 0, da sie sich nicht wiedergefunden haben.
 
=== Bedeutung ===
 
=== Bedeutung ===
John Forbes Nash hat in seiner berühmten Arbeit bewiesen, dass es für jedes endliche Spiel ein Gleichgewicht gibt. Man kann Nash-Gleichgewichte in zwei Typen unterteilen. Reine Strategie Nash-Gleichgewichte sind Nash-Gleichgewichte, bei denen alle Spieler reine Strategien spielen. Gemischte Strategie Nash-Gleichgewichte sind Gleichgewichte, bei denen mindestens ein Spieler eine gemischte Strategie spielt. Während Nash bewiesen hat, dass jedes endliche Spiel ein Nash-Gleichgewicht hat, haben nicht alle Nash-Gleichgewichte mit reinen Strategien. Ein Beispiel für ein Spiel ohne Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien finden Sie unter Matching Pennies. Viele Spiele haben jedoch reine Nash-Gleichgewichte (z. B. das Koordinationsspiel, das Gefangenendilemma, die Hirschjagd). Darüber hinaus können Spiele sowohl reine Strategie- als auch gemischte Strategie-Gleichgewichte aufweisen. Ein einfaches Beispiel ist das reine Koordinationsspiel, bei dem zusätzlich zu den reinen Strategien (A, A) und (B, B) ein gemischtes Gleichgewicht besteht, bei dem beide Spieler beide Strategien mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 spielen.
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John Forbes Nash hat in seiner bekannten Arbeit bewiesen, dass es für jedes endliche Spiel ein Gleichgewicht gibt. Jedoch haben die reinen Strategien nicht alle ein [[Nash-Gleichgewicht]]. Ein Beispiel für ein Spiel ohne [[Nash-Gleichgewicht]] ist das oben angeführte Münzspiel. Viele Spiele haben jedoch ein solches Gleichgewicht. 
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Spiele mit [[Nash-Gleichgewicht]]:
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- Koordinationsspiel
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- Gefangenendilemma
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- Hirschjagd
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=== Kritische Würdigung ===
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In den 1980er Jahren geriet das Konzept der gemischten Strategien ins Wanken, weil es "intuitiv" problematisch war (Aumann 1985, 12). Dem Zufallsmechanismus, der bei gemischten Strategien von zentraler Bedeutung ist, fehlt die Komponente des persönlichen Verhaltens. Selten treffen Menschen ihre Entscheidung rein zufällig. Das Verhaltensproblem wird durch die kognitiven Schwierigkeiten verstärkt, sodass Menschen ohne die Hilfe eines Zufallsgenerators keine zufälligen Ergebnisse erzielen können (Aumann 1985, 13).
  
=== Umstrittene Bedeutung ===
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Später interpretierten Aumann und Brandenburger das [[Nash-Gleichgewicht]] vielmehr als ein Gleichgewicht in Überzeugungen, statt in Handlungen (Aumann and Brandenburger 1995, 1173). Zum Beispiel würde bei dem Schere-Stein-Papierspiel ein Gleichgewicht der Überzeugungen dazu führen, dass jeder Spieler glaubt, der andere würde mit gleicher Wahrscheinlichkeit jede Strategie spielen. Diese Interpretation schwächt jedoch die Vorhersagekraft des Nash-Gleichgewichts, da es in einem solchen Gleichgewicht für jeden Spieler möglich ist, eine reine Strategie zu spielen. Des Weiteren gibt das Modell nicht an, warum und wie die Spieler ihre Entscheidungen zufällig treffen.
n den 1980er Jahren geriet das Konzept der gemischten Strategien ins Wanken, weil es "intuitiv problematisch" war. [2] Randomisierung, die bei gemischten Strategien von zentraler Bedeutung ist, fehlt die Unterstützung des Verhaltens. Selten treffen Menschen ihre Wahl nach einer Lotterie. Dieses Verhaltensproblem wird durch die kognitive Schwierigkeit verstärkt, dass Menschen ohne die Hilfe eines Zufalls- oder Pseudozufallsgenerators keine zufälligen Ergebnisse erzielen können. [2]
 
  
1991 [3] beschrieb der Spieltheoretiker Ariel Rubinstein alternative Wege zum Verständnis des Konzepts. Die erste, die aufgrund von Harsanyi (1973) [4] als Reinigung bezeichnet wird, geht davon aus, dass die Interpretation der gemischten Strategien lediglich unsere mangelnde Kenntnis des Informations- und Entscheidungsprozesses der Spieler widerspiegelt. Scheinbar zufällige Entscheidungen werden dann als Konsequenzen nicht spezifizierter, auszahlungsunabhängiger exogener Faktoren angesehen. Es ist jedoch unbefriedigend, Ergebnisse zu erzielen, die von nicht näher definierten Faktoren abhängen. [3]
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Seitdem werden die Ergebnisse der gemischten Strategien von vielen Spieltheoretikern kritisch gesehen. Gemischte Strategien werden jedoch nach wie vor häufig eingesetzt, um Nash-Gleichgewichte in Spielen zu erzielen, in denen kein Gleichgewicht in reinen Strategien besteht.  
  
Eine zweite Interpretation stellt die Spieler vor, die für eine große Population von Agenten stehen. Jeder der Agenten wählt eine reine Strategie, und die Auszahlung hängt vom Anteil der Agenten ab, die jede Strategie auswählen. Die gemischte Strategie repräsentiert somit die Verteilung der von jeder Population gewählten reinen Strategien. Dies ist jedoch keine Rechtfertigung für den Fall, dass es sich bei den Spielern um Einzelagenten handelt.
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== Verhaltensstrategien ==
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Um die Verhaltensstrategie etwas genauer zu erklären, wird der Begriff des perfekten Erinnerungsvermögens herangezogen.
  
Später interpretierten Aumann und Brandenburger (1995) [5] das Nash-Gleichgewicht eher als ein Gleichgewicht in Überzeugungen als in Handlungen. Zum Beispiel würde bei einer Steinpapierschere ein Gleichgewicht der Überzeugungen dazu führen, dass jeder Spieler glaubt, der andere würde mit gleicher Wahrscheinlichkeit jede Strategie spielen. Diese Interpretation schwächt jedoch die Vorhersagekraft des Nash-Gleichgewichts, da es in einem solchen Gleichgewicht für jeden Spieler möglich ist, tatsächlich eine reine Rock-Strategie zu spielen.
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Kann sich ein Spieler an jedem seiner Entscheidungsknoten an alle Informationen erinnern, über die er früher verfügte (insbesondere auch an seine eigenen Spielzüge), so zeichnet er sich durch ein perfektes Erinnerungsvermögen (Perfect Recall) aus (Holler/Illing/Napel 2019, 46).
  
Seitdem ist die Einstellung der Spieltheoretiker zu auf gemischten Strategien basierenden Ergebnissen zwiespältig. Gemischte Strategien werden nach wie vor häufig eingesetzt, um Nash-Gleichgewichte in Spielen zu erzielen, in denen kein Gleichgewicht in reinen Strategien besteht. Das Modell gibt jedoch nicht an, warum und wie die Spieler ihre Entscheidungen zufällig treffen.
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Verfügt ein Spieler über ein perfektes Erinnerungsvermögen, so reicht es aus, wie Kuhn (1953) gezeigt hat, sich in [https://de.wikipedia.org/wiki/Extensivform_eines_Spiels Extensivformspielen] auf sogenannte Verhaltensstrategien (Behavioral Strategies) zu beschränken. An jedem seiner Entscheidungsknoten (bzw. in jeder seiner Informationsmengen) bestimmt der Spieler eine '''Wahrscheinlichkeitsverteilung über die ihm dort zur Verfügung stehenden Handlungsalternativen''' (Holler/Illing/Napel 2019, 46).
  
=== Verhaltensstrategien ===
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Der Unterschied zur gemischten Strategie: Die gemischte Strategie weist der reinen Strategie eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zu. Die Verhaltensstrategie hingegen teilt jedem Informationssatz eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Menge der möglichen Aktionen zu.  
Während eine gemischte Strategie eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über reine Strategien zuweist, weist eine Verhaltensstrategie jedem Informationssatz eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Menge der möglichen Aktionen zu. Während die beiden Konzepte im Kontext normaler Formspiele sehr eng miteinander verwandt sind, haben sie sehr unterschiedliche Auswirkungen auf umfangreiche Formspiele. Grob gesagt wählt eine gemischte Strategie zufällig einen deterministischen Pfad durch den Spielbaum, während eine Verhaltensstrategie als stochastischer Pfad angesehen werden kann.
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Die Beziehung zwischen Misch- und Verhaltensstrategien ist Gegenstand von Kuhns Theorem. Das Ergebnis zeigt, dass es in jedem endlichen Spiel in ausgedehnter Form mit perfektem Rückruf für jeden Spieler und jede gemischte Strategie eine Verhaltensstrategie gibt, die gegen alle Strategieprofile (anderer Spieler) die gleiche Verteilung über die Endknoten hervorruft wie die gemischte Strategie tut. Das Gegenteil ist auch wahr.
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Während die beiden Konzepte im Kontext normaler Formspiele sehr eng miteinander verwandt sind, haben sie sehr unterschiedliche Auswirkungen auf umfangreiche Formspiele. Eine gemischte Strategie wählt zufällig einen deterministischen Pfad durch den Spielbaum, während eine Verhaltensstrategie als ein stochastischer Pfad angesehen werden kann.  
Ein berühmtes Beispiel dafür, warum ein perfekter Rückruf für die Äquivalenz erforderlich ist, geben Piccione und Rubinstein (1997) mit ihrem Spiel Absent-Minded Driver.
 
  
 
== Kontinuierliche Strategie ==
 
== Kontinuierliche Strategie ==
Ist die (unendliche) Menge der Aktionen (und somit der Strategien) eines Spielers in einem Spiel nicht abzählbar, spricht man von kontinuierlichen Strategien. Ein Beispiel könnte ein Spiel sein, in dem zwei Spieler eine Zahl aus den reellen Zahlen zwischen 0 und 1 wählen müssen, wobei der mit der größeren Zahl gewinnt. (Um die offensichtliche Wahl 1 hier auszuschließen, sei 1 in dem Spiel verboten.)
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Ist die (unendliche) Menge der Handlungen (und somit der Strategien) eines Spielers in einem Spiel nicht abzählbar, wird von kontinuierlichen Strategien gesprochen.
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Im bisherigen Verlauf dieses Beitrages wurde stillschweigend davon ausgegangen, dass die Strategiemenge aus einer abzählbaren Anzahl von Strategien besteht. Theoretisch ist trotz dessen der Fall wahrscheinlich, dass es ein Kontinuum von Strategien gibt. Genaugenommen wurde der Fall bereits im Kapitel "Gemischte Strategien" behandelt:
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In gemischten Strategien kann die Wahrscheinlichkeit für die Wahl der einzelnen Strategien kontinuierlich variiert werden, sodass unendlich viele gemischte Strategien zur Verfügung stehen (Rieck 1993, 115). Das berühmteste Beispiel ist das sogenannte Cournot-Spiel (Cournot 1838, 68).
  
In Spielen mit kontinuierlichen Strategien wird das Spiel oft über sogenannte Reaktionsfunktionen charakterisiert. Das Nash-Gleichgewicht (also das Tupel, das aus den besten Antworten aller Spieler besteht) wird aus den Schnittpunkten der Reaktionsfunktionen der Spieler bestimmt.
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Ein weiteres Beispiel könnte ein Spiel sein, bei dem zwei Spieler eine Zahl aus dem reellen Zahlenbereich zwischen 0 und 1 auswählen. Hierbei gewinnt derjenige, der die größte Zahl gewählt hat. Die offensichtliche Auswahl der Zahl 1 ist in diesem Spiel ausgeschlossen.  
  
 
== Strategien der Natur ==
 
== Strategien der Natur ==
Spiele mit nicht-deterministischen Elementen, sogenannte ''Spiele mit Zufallszügen'' (etwa Würfelspiele), lassen sich als strategische Spiele ''ohne'' Zufallszüge auffassen, an denen der Zufall (die ''Natur'') teilnimmt und in denen dieser selbst eine gemischte Strategie spielt (ein Würfel würde also die Strategie „wähle jede Augenzahl mit Wahrscheinlichkeit 1/6“ spielen). Die „realen“ Spieler antizipieren diese Strategie der Natur bei ihren Entscheidungen. Im Unterschied zu einem „realen“ Spieler kann natürlich nicht davon ausgegangen werden, dass die Natur sich „strategisch“, d. h. rational verhält.
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Würfelspiele sind Spiele, die nicht durch ihre Vorbedingungen eindeutig festgelegt sind. Sie werden auch als sogenannte Spiele mit Zufallszügen verstanden. Hierbei nimmt der Zufall (die Natur) teil und spielt selbst eine gemischte Strategie. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung für das Würfelspiel wäre demzufolge 1/6 für jede Augenzahl.
  
== Beispiele ==
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Die realen Spieler antizipieren jene Strategie der Natur innerhalb ihrer Entscheidungen. Ein realer Spieler verhält sich in der Regel rational und geht strategisch vor, um seine Auszahlungen zu maximieren. Bei der Natur kann von so einem Verhalten nicht ausgegangen werden.
  
== JEL-Klassifikation ==
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== Weitere Beispiele ==
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Das erläuterte Kopf- oder Zahl Spiel besitzt kein [[Nash-Gleichgewicht|Nash-Gleichgewich]]<nowiki/>t in reinen Strategien, dafür aber in gemischten Strategien. Hierbei entscheidet sich der Spieler mit einer Wahrscheinlichkeit 1/2 für Kopf und mit Wahrscheinlichkeit 1/2 für Zahl.
  
== Literatur ==
+
Ein anderes Beispiel für dieses Kopf- oder Zahl Spiel ist das Elfmeterschießen im Fußball. Hierbei muss der Torwart bei jedem Schuss entscheiden, ob er in die linke oder rechte Ecke des Tores springt. Der Torwart erhält bei der Wahl der richtigen Seite (Torschuss abgewehrt) eine Auszahlung, der Torschütze nicht. Kritiker könnten einwenden, dass der Torhüter in einer besseren Position ist und nur auf den abgegebenen Torschuss reagiert. Die Praxis beweist aber, dass die menschliche Reaktionszeit nicht so ausgereift ist, um die Flugbahn des Balls bei hoher Geschwindigkeit analysieren zu können. Torschütze und Torhüter müssen sich also simultan entscheiden, welche Strategie sie verwenden. In einer Untersuchung wurden Daten zum Test der simultanen Entscheidung ausgewertet (Berger and Hammer 2017, 29). In Abbildung 3 werden die Ergebnisse dieser Untersuchung dargestellt. 
Bartholomae, Florian; Wiens, Marcus (2016): Spieltheorie, Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch.
+
[[Datei:Abbildung 3- Elfmeterschießen.jpg|none|thumbnail|375x375px|Abbildung 3: Elfmeterschießen]]
 +
Die These: Die vier Kombinationen aus Schussrichtung und Abwehrpositionen beider Spieler sind gleich verteilt.
  
Berninghaus, Siegfried K.; Ehrhart, Karl-Martin; Güth, Werner (2010): Strategische Spiele, Eine Einführung in die Spieltheorie.
+
Voraussetzungen: Torschütze und Torhüter verhalten sich rational und treffen ihre Entscheidung simultan.
  
Ben, Polak (2007): Game Theory: Lecture 1 Transcript ECON 159, Open Yale Courses.
+
Ergebnis: Jede Kombination hat die ungefähr gleich erwartete Wahrscheinlichkeit. (1/4 für jede Entscheidung)  
  
<nowiki>Dutta, Prajit K. (1999). Strategies and games: Theory and practice. Cambridge, Mass. MIT Press. https://b-ok.org/book/2640653/e56341.</nowiki>
+
Hierbei zeigt sich, dass die Fußballspieler der vorgestellten gemischten Strategie, mit einer Abwägung der Wahrscheinlichkeiten nahe kommen.
  
Erlei, Mathias (2018): Ultimatumspiel, Gabler Wirtschaftslexikon
+
== Videos ==
 +
* Rieck, Christian. ''Elemente einer Strategie: Zug, Partie, Strategie''. Rieck, 16.12.2019. Zugriff am 15.01.2020. https://www.youtube.com/watch?v=FSmzOCp4PlQ
 +
* Studyflix. ''Spieltheorie: Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien.'' Studyflix, 02.03.2018. Zugriff am 15.01.2020. https://www.youtube.com/watch?v=9xhWs3XHen0
 +
* Winter, Stefan. ''Vorlesung: Grundzüge der Spieltheorie.'' ''min. 11:54 - 15:40''. Winter, 16.12.2014. Zugriff am 15.01.2020. https://www.youtube.com/watch?v=oIHQsCYeF6Y
  
Holler, Manfred J.; Illing, Gerhard; Napel, Stefan (2019): Einführung in die Spieltheorie.
+
== Kategorisierung nach der JEL-Klassifikation ==
 +
C Mathematical and Quantitative Methods
 +
* C7 Game Theory and Bargaining Theory
 +
** C700 General
  
Winter, Stefan (2019): Grundzüge der Spieltheorie.[[Kategorie:Spieltheorie]]
+
== Literatur ==
 +
* Aumann, Robert. 1985. ''What is Game Theory'' ''Trying to accomplish?''
 +
* Aumann, Robert; Brandenburger, Adam. 1995. ''Epistemic Conditions for Nash Equilibrium.''
 +
* Bartholomae, Florian; Wiens, Marcus. 2016. ''Spieltheorie: Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch.'' ISBN 978-3-8349-4420-7.
 +
* Berger, Roger; Hammer, Rupert. 2007. ''Links oder rechts; das ist hier die Frage, Arbeitsbericht des Instituts für Soziologie Leipzig.''
 +
* Berninghaus, Siegfried K.; Ehrhart, Karl-Martin; Güth, Werner. 2010. ''Strategische Spiele: Eine Einführung in die Spieltheorie.'' ISBN 978-3-642-11651-3.
 +
* Ben, Polak. 2007. ''Game Theory: Lecture 1 Transcript ECON 159'', Open Yale Courses.
 +
* Dixit, Avinash K., Susan Skeath und David Reiley. 2015. ''Games of strategy: 4. ed. New York: W. W. Norton & Co.'' ISBN: 978-0393919684.
 +
* Dutta, Prajit K. 1999. ''Strategies and games: Theory and practice. Cambridge, Mass.''<nowiki> MIT Press. https://b-ok.org/book/2640653/e56341.</nowiki>
 +
* Erlei, Mathias. 2018. ''Ultimatumspiel: Gabler Wirtschaftslexikon.''
 +
* Harsanyi, John. 1973. ''Games with randomly disturbed payoffs: a new rationale for mixed-strategy equilibrium points"ation of Game Theory.''
 +
* Holler, Manfred J.; Illing, Gerhard; Napel, Stefan. 2019. ''Einführung in die Spieltheorie.'' ISBN 978-3-642-31963-1.
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* Holt, Charles A. 2007. ''Markets, Games, & Strategic Behavior: Boston, Mass.'' Pearson/Addison Wesley. ISBN: 978-0-321-41931-6.
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* Paul, Herbert; Wollny, Volrad. 2014. ''Instrumente des Strategischen Managements: Grundlagen und Anwendung.'' ISBN 978-3-11-035059-3.
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* Rieck, Christian. 1993. Spieltheorie: ''Einführung für Wirtschafts- und Sozialwissenschaftler.'' ISBN 978-3-322-87083-4.
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* Rubinstein, Ariel. 1991. ''Comments on the interpretation of Game Theory.''
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* Varian, Hal R. 2016. ''Grundzüge der Mikroökonomik''. 9. Auflage. Berlin: De Gruyter Oldenbourg.
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* Winter, Stefan. 2019. ''Grundzüge der Spieltheorie''. ISBN 978-3-662-44422-1.
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* Watson, Joel. 2013. ''Strategy: An introduction to game theory.'' 3. ed. New York: Norton. ISBN: 978-0-393-91838-0.[[Kategorie:Spieltheorie]]

Latest revision as of 09:47, 8 February 2020

Strategie definiert die Handlungen, die ein Spieler bei jeder Informationsmenge ausführt, bei der er sich entscheiden muss (Dutta 1999, 20).

Ausführliche Definitionen

Der Begriff Strategie wurde zum ersten Mal im militärischen Bereich verwendet. Sun Tsu`s Klassiker "Die Kunst des Krieges" (ca. 500 v. Christus) wird allgemein als erste Strategieabhandlung bezeichnet (Paul and Wollny 2014, 13). Im Bereich der Wirtschaftswissenschaften wurde dieser Ausdruck erst im Jahr 1944 durch Neumann und Morgenstern mit der Spieltheorie eingeführt (Paul and Wollny 2014, 13).

In der Spieltheorie ist die Strategie eines Spielers eine der Möglichkeiten, die man in einer Umgebung auswählt, in der das Resultat nicht ausschließlich von der eigenen Handlung, sondern ebenfalls von den Handlungen anderer abhängt (Polak 2007, 1161). Die Strategie eines Spielers bestimmt die Handlung, die dieser in den verschiedenen Phasen des Spiels ausführen wird. Somit wird unter dem Begriff Strategie der gesamte Spielplan für das komplette Spiel verstanden (vollständiger Verhaltensplan).

Die Strategie ist abzugrenzen von dem Begriff Spielzug. Unter dem Begriff „Zug“ wird im Folgenden eine separate Entscheidung eines Spielers zu einem speziellen Zeitpunkt des Spiels verstanden. Der vollständige Verlauf eines Spiels ergibt sich also durch die Abfolge aller von den Spielern ausgeführten Zügen (Winter 2019, 8). Beispielsweise werden bei einem Schachspiel viele Züge ausgeführt, um den Gegner am Ende Schachmatt zu setzen. Die Strategie hilft dem Spieler, bei jedem Zug und in der jeweiligen Situation eine Entscheidung zu treffen.

Strategiemenge

Unter der Strategiemenge (auch Strategieset genannt) versteht man die Strategien, welche einem Spieler während des Spiels zur Verfügung stehen.

In einem Spiel ist die Anzahl der zur Verfügung stehenden Strategien endlich oder unendlich. Einem Spieler stehen bei dem bekannten Schere-Stein-Papierspiel beispielsweise nur drei verschiedene Strategien zur Verfügung. Das Spiel besteht aus einem einzigen Zug jedes Spielers und die Wahl der Strategie erfolgt ohne Kenntnis des Anderen, sodass jeder Spieler eine endliche Strategie besitzt.

Die Strategiemenge wird bei dynamischen Spielen durch die möglichen Regeln begrenzt. Beispielsweise gibt es bei dem Ultimatum-Spiel ein Akteur (Spieler 1), welcher ein Angebot über die Aufteilung eines vorgegebenen Geldbetrages macht, das Spieler 2 anschließend annehmen oder ablehnen kann (Erlei 2018, 1). Hierbei gibt es für den zweiten Spieler eine festgelegte bzw. eine begrenzte Anzahl von Strategien, entweder akzeptieren oder ablehnen.

Bei dem "Kuchenschneidespiel" (Rubinsteins Verhandlungsmodell) besitzt man stattdessen ein unbegrenztes Kontinuum von Strategien. Hierbei wird der Kuchen irgendwo zwischen null und hundert Prozent angeschnitten.

Auswahl der Strategie

In der angewandten Spieltheorie sind die Informationen über die Anzahl der zur Verfügung stehenden Strategien, sowie die Auswahl einer Strategie wesentliche Bestandteile, die ein Spiel lösbar und gleichzeitig aussagekräftig machen. Der einzelne Spieler kann das Wissen über das Vorhandensein einer großen Menge an Strategien nutzen, um die Strategieräume einzuschränken und somit das Spiel einfacher zu gestalten.

Beispielsweise kann ein Spieler bei dem oben erläuterten Ultimatum-Spiel im Detail auch folgende Strategien vornehmen:

1) Angebote von (1€, 3€, 5€ … 17€) ablehnen oder

2) Angebote von (0€, 2€, 4€ … 18€) annehmen.

Durch die Menge der resultierenden Strategien ergeben sich große Strategieräume.

Ein Spieltheoretiker könnte stattdessen glauben, dass er die Auswahl der Strategie auf

1) jedes Angebot ablehnen (≤ x) oder

2) jedes Angebot annehmen (> x); für x 0€, 1€, 2€, 3€ ... 18€)

einschränken kann.

Zusammenspiel Strategiemenge und Strategiekombination

Eine spieltheoretische Situation wird für einen Spieler immer dann zu einem Entscheidungsproblem, wenn er aus der Strategiemenge mehrere Strategien für seinen Zug zur Verfügung hat. Um die Situation genau analysieren zu können, muss zunächst herausgefiltert werden, welche möglichen Strategien dem Spieler zur Verfügung stehen. Als Strategiemenge bezeichnet man somit die Menge aller Strategien, die einem Spieler insgesamt zur Auswahl stehen (Winter 2019, 10).

Beispielsweise sind die zur Verfügung stehenden Strategien, bei dem oben aufgeführten Schere-Stein-Papierspiel, alle gleich. In jedem Zug hat der Spieler die Möglichkeit aus drei verschiedenen Strategien zu wählen. Bei dem Schachspiel sind die Mengen jedoch unterschiedlich, da in jedem Zug eine andere verfügbare Menge an Strategien erzeugt wird.

Die Strategiekombination (auch als Strategieprofil bezeichnet) ist eine Reihe von Strategien, die die Aktionen in einem Spiel spezifizieren. Da jede Strategie jedes Spielers jeweils einen vollständigen Spielplan darstellt, ergibt sich aus der Kombination von je einer Strategie pro Spieler ein kompletter möglicher Spielverlauf (Winter 2019, 11). Bei dem herkömmlichen Schere-Stein-Papierspiel ergeben sich aus der Strategiemenge somit 9 verschiedene Strategiekombinationen.

  1. Schere 1. Stein [Spieler 2 gewinnt]
  2. Schere 2. Papier [Spieler 1 gewinnt]
  3. Schere 3. Stein [Spieler 2 gewinnt]
  4. Papier ...

Reine Strategie

Bei genauer Betrachtung wurde in den bisherigen Textabschnitten nur von sogenannten reinen Strategien gesprochen. Die reine Strategie zeichnet aus, dass sich jeder Spieler für eine bestimmte Aktion entscheidet. Diese ist somit die beste Antwort auf die Strategie des anderen Spielers.

In der Abbildung 1 ist das allgemein bekannte Münzspiel abgebildet. Hierbei entscheidet sich der jeweilige Spieler jede Runde, ob er auf Kopf oder Zahl setzt. Von dieser Strategie wird bzw. kann im Verlauf des Spiels nicht mehr abgewichen werden. Häufig besitzen reine Strategien kein Nash-Gleichgewicht. Für das Münzspiel bedeutet dies, dass es keine Strategiekombination gibt, mit der ein einzelner Spieler einen Vorteil für sich erzielen kann, indem er allein seine Strategie modifiziert.

Abbildung 1: Kopf oder Zahl Spiel

Gemischte Strategie

Gemischte Strategien sind dadurch charakterisiert, dass durch einen Zufallsmechanismus bestimmt wird, welche Strategie gewählt wird. Benutzt der Spieler einen Zufallsmechanismus, um aus verschiedenen reinen Strategien zu wählen, randomisiert bzw. wählt er eine gemischte Strategie (Holler/Illing/Napel 2019, 12). Um in diesem Fall die beste Strategie herauszufiltern, wird eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gewählt. Hierbei wird jede reine Strategie analysiert und eine Wahrscheinlichkeit bestimmt. Anhand dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung hängt die konkrete Realisation, welche Züge ausgeführt werden, ab (Dutta 1999, 104).

Exemplarisch (andere Möglichkeiten vorhanden) wären im Schere-Stein-Papierspiel die gemischten Strategien wie folgt:

  1. wähle "Stein" und "Schere", Wahrscheinlichkeit: 1/2
  2. wähle "Stein", "Schere" und "Papier", Wahrscheinlichkeit: 1/3

Bei einer gewinnmaximierten Denkweise würden die Spieler versuchen ihre erwartete Auszahlung zu erhöhen. Hierbei ergibt sich ein Nash-Gleichgewicht dadurch, dass beide Spieler die Strategie (2.) verwenden. Sobald einer der Spieler diese Strategie ausführt, ist es für die Höhe der Auszahlung egal, welche Strategie der andere Spieler umsetzt. Jedoch ist die Strategieauswahl nicht festgelegt und somit kann der Gegner eine Strategie wählen, die für ihn einen günstigeren Erwartungswert, als die Strategie (2.) hat. Umgekehrt bedeutet das, sollte ein Spieler die Strategie (1.) wählen und wird dies dem Gegner bekannt, so ist er ihm gegenüber im Nachteil.

Illustration

In der Abbildung 2 wird die Auszahlungsmatrix eines Koordinationsspiels (Treffpunkte bei dem Verlieren der anderen Person) dargestellt. A steht beispielsweise für den Marktplatz und B für den Bahnhof. In einer reinen Strategie würde sich der Spieler 1 zum Beispiel für den Marktplatz entscheiden. In der gemischten Strategie wägt er anhand der Wahrscheinlichkeit ab welchen Ort er auswählt.

Abbildung 2: Auszahlungsmatrix Koordinationsspiel

Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung stellt die gemischte Strategie dar.

Beispielsweise wählt Spieler 1 den Marktplatz mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% und Spieler 2 mit einer Wahrscheinlichkeit von 50%. Die Auszahlung beträgt für jeden Spieler 1, da sie sich wiedergefunden haben. Sollte Spieler 1 mit 60% den Bahnhof wählen und Spieler 2 mit ebenfalls 60% den Markplatz, beträgt für beide die Auszahlung 0, da sie sich nicht wiedergefunden haben.

Bedeutung

John Forbes Nash hat in seiner bekannten Arbeit bewiesen, dass es für jedes endliche Spiel ein Gleichgewicht gibt. Jedoch haben die reinen Strategien nicht alle ein Nash-Gleichgewicht. Ein Beispiel für ein Spiel ohne Nash-Gleichgewicht ist das oben angeführte Münzspiel. Viele Spiele haben jedoch ein solches Gleichgewicht.

Spiele mit Nash-Gleichgewicht:

- Koordinationsspiel

- Gefangenendilemma

- Hirschjagd

Kritische Würdigung

In den 1980er Jahren geriet das Konzept der gemischten Strategien ins Wanken, weil es "intuitiv" problematisch war (Aumann 1985, 12). Dem Zufallsmechanismus, der bei gemischten Strategien von zentraler Bedeutung ist, fehlt die Komponente des persönlichen Verhaltens. Selten treffen Menschen ihre Entscheidung rein zufällig. Das Verhaltensproblem wird durch die kognitiven Schwierigkeiten verstärkt, sodass Menschen ohne die Hilfe eines Zufallsgenerators keine zufälligen Ergebnisse erzielen können (Aumann 1985, 13).

Später interpretierten Aumann und Brandenburger das Nash-Gleichgewicht vielmehr als ein Gleichgewicht in Überzeugungen, statt in Handlungen (Aumann and Brandenburger 1995, 1173). Zum Beispiel würde bei dem Schere-Stein-Papierspiel ein Gleichgewicht der Überzeugungen dazu führen, dass jeder Spieler glaubt, der andere würde mit gleicher Wahrscheinlichkeit jede Strategie spielen. Diese Interpretation schwächt jedoch die Vorhersagekraft des Nash-Gleichgewichts, da es in einem solchen Gleichgewicht für jeden Spieler möglich ist, eine reine Strategie zu spielen. Des Weiteren gibt das Modell nicht an, warum und wie die Spieler ihre Entscheidungen zufällig treffen.

Seitdem werden die Ergebnisse der gemischten Strategien von vielen Spieltheoretikern kritisch gesehen. Gemischte Strategien werden jedoch nach wie vor häufig eingesetzt, um Nash-Gleichgewichte in Spielen zu erzielen, in denen kein Gleichgewicht in reinen Strategien besteht.

Verhaltensstrategien

Um die Verhaltensstrategie etwas genauer zu erklären, wird der Begriff des perfekten Erinnerungsvermögens herangezogen.

Kann sich ein Spieler an jedem seiner Entscheidungsknoten an alle Informationen erinnern, über die er früher verfügte (insbesondere auch an seine eigenen Spielzüge), so zeichnet er sich durch ein perfektes Erinnerungsvermögen (Perfect Recall) aus (Holler/Illing/Napel 2019, 46).

Verfügt ein Spieler über ein perfektes Erinnerungsvermögen, so reicht es aus, wie Kuhn (1953) gezeigt hat, sich in Extensivformspielen auf sogenannte Verhaltensstrategien (Behavioral Strategies) zu beschränken. An jedem seiner Entscheidungsknoten (bzw. in jeder seiner Informationsmengen) bestimmt der Spieler eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die ihm dort zur Verfügung stehenden Handlungsalternativen (Holler/Illing/Napel 2019, 46).

Der Unterschied zur gemischten Strategie: Die gemischte Strategie weist der reinen Strategie eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zu. Die Verhaltensstrategie hingegen teilt jedem Informationssatz eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Menge der möglichen Aktionen zu.

Während die beiden Konzepte im Kontext normaler Formspiele sehr eng miteinander verwandt sind, haben sie sehr unterschiedliche Auswirkungen auf umfangreiche Formspiele. Eine gemischte Strategie wählt zufällig einen deterministischen Pfad durch den Spielbaum, während eine Verhaltensstrategie als ein stochastischer Pfad angesehen werden kann.

Kontinuierliche Strategie

Ist die (unendliche) Menge der Handlungen (und somit der Strategien) eines Spielers in einem Spiel nicht abzählbar, wird von kontinuierlichen Strategien gesprochen.

Im bisherigen Verlauf dieses Beitrages wurde stillschweigend davon ausgegangen, dass die Strategiemenge aus einer abzählbaren Anzahl von Strategien besteht. Theoretisch ist trotz dessen der Fall wahrscheinlich, dass es ein Kontinuum von Strategien gibt. Genaugenommen wurde der Fall bereits im Kapitel "Gemischte Strategien" behandelt:

In gemischten Strategien kann die Wahrscheinlichkeit für die Wahl der einzelnen Strategien kontinuierlich variiert werden, sodass unendlich viele gemischte Strategien zur Verfügung stehen (Rieck 1993, 115). Das berühmteste Beispiel ist das sogenannte Cournot-Spiel (Cournot 1838, 68).

Ein weiteres Beispiel könnte ein Spiel sein, bei dem zwei Spieler eine Zahl aus dem reellen Zahlenbereich zwischen 0 und 1 auswählen. Hierbei gewinnt derjenige, der die größte Zahl gewählt hat. Die offensichtliche Auswahl der Zahl 1 ist in diesem Spiel ausgeschlossen.

Strategien der Natur

Würfelspiele sind Spiele, die nicht durch ihre Vorbedingungen eindeutig festgelegt sind. Sie werden auch als sogenannte Spiele mit Zufallszügen verstanden. Hierbei nimmt der Zufall (die Natur) teil und spielt selbst eine gemischte Strategie. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung für das Würfelspiel wäre demzufolge 1/6 für jede Augenzahl.

Die realen Spieler antizipieren jene Strategie der Natur innerhalb ihrer Entscheidungen. Ein realer Spieler verhält sich in der Regel rational und geht strategisch vor, um seine Auszahlungen zu maximieren. Bei der Natur kann von so einem Verhalten nicht ausgegangen werden.

Weitere Beispiele

Das erläuterte Kopf- oder Zahl Spiel besitzt kein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien, dafür aber in gemischten Strategien. Hierbei entscheidet sich der Spieler mit einer Wahrscheinlichkeit 1/2 für Kopf und mit Wahrscheinlichkeit 1/2 für Zahl.

Ein anderes Beispiel für dieses Kopf- oder Zahl Spiel ist das Elfmeterschießen im Fußball. Hierbei muss der Torwart bei jedem Schuss entscheiden, ob er in die linke oder rechte Ecke des Tores springt. Der Torwart erhält bei der Wahl der richtigen Seite (Torschuss abgewehrt) eine Auszahlung, der Torschütze nicht. Kritiker könnten einwenden, dass der Torhüter in einer besseren Position ist und nur auf den abgegebenen Torschuss reagiert. Die Praxis beweist aber, dass die menschliche Reaktionszeit nicht so ausgereift ist, um die Flugbahn des Balls bei hoher Geschwindigkeit analysieren zu können. Torschütze und Torhüter müssen sich also simultan entscheiden, welche Strategie sie verwenden. In einer Untersuchung wurden Daten zum Test der simultanen Entscheidung ausgewertet (Berger and Hammer 2017, 29). In Abbildung 3 werden die Ergebnisse dieser Untersuchung dargestellt.

Abbildung 3: Elfmeterschießen

Die These: Die vier Kombinationen aus Schussrichtung und Abwehrpositionen beider Spieler sind gleich verteilt.

Voraussetzungen: Torschütze und Torhüter verhalten sich rational und treffen ihre Entscheidung simultan.

Ergebnis: Jede Kombination hat die ungefähr gleich erwartete Wahrscheinlichkeit. (1/4 für jede Entscheidung)

Hierbei zeigt sich, dass die Fußballspieler der vorgestellten gemischten Strategie, mit einer Abwägung der Wahrscheinlichkeiten nahe kommen.

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Kategorisierung nach der JEL-Klassifikation

C Mathematical and Quantitative Methods

  • C7 Game Theory and Bargaining Theory
    • C700 General

Literatur

  • Aumann, Robert. 1985. What is Game Theory Trying to accomplish?
  • Aumann, Robert; Brandenburger, Adam. 1995. Epistemic Conditions for Nash Equilibrium.
  • Bartholomae, Florian; Wiens, Marcus. 2016. Spieltheorie: Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch. ISBN 978-3-8349-4420-7.
  • Berger, Roger; Hammer, Rupert. 2007. Links oder rechts; das ist hier die Frage, Arbeitsbericht des Instituts für Soziologie Leipzig.
  • Berninghaus, Siegfried K.; Ehrhart, Karl-Martin; Güth, Werner. 2010. Strategische Spiele: Eine Einführung in die Spieltheorie. ISBN 978-3-642-11651-3.
  • Ben, Polak. 2007. Game Theory: Lecture 1 Transcript ECON 159, Open Yale Courses.
  • Dixit, Avinash K., Susan Skeath und David Reiley. 2015. Games of strategy: 4. ed. New York: W. W. Norton & Co. ISBN: 978-0393919684.
  • Dutta, Prajit K. 1999. Strategies and games: Theory and practice. Cambridge, Mass. MIT Press. https://b-ok.org/book/2640653/e56341.
  • Erlei, Mathias. 2018. Ultimatumspiel: Gabler Wirtschaftslexikon.
  • Harsanyi, John. 1973. Games with randomly disturbed payoffs: a new rationale for mixed-strategy equilibrium points"ation of Game Theory.
  • Holler, Manfred J.; Illing, Gerhard; Napel, Stefan. 2019. Einführung in die Spieltheorie. ISBN 978-3-642-31963-1.
  • Holt, Charles A. 2007. Markets, Games, & Strategic Behavior: Boston, Mass. Pearson/Addison Wesley. ISBN: 978-0-321-41931-6.
  • Paul, Herbert; Wollny, Volrad. 2014. Instrumente des Strategischen Managements: Grundlagen und Anwendung. ISBN 978-3-11-035059-3.
  • Rieck, Christian. 1993. Spieltheorie: Einführung für Wirtschafts- und Sozialwissenschaftler. ISBN 978-3-322-87083-4.
  • Rubinstein, Ariel. 1991. Comments on the interpretation of Game Theory.
  • Varian, Hal R. 2016. Grundzüge der Mikroökonomik. 9. Auflage. Berlin: De Gruyter Oldenbourg.
  • Winter, Stefan. 2019. Grundzüge der Spieltheorie. ISBN 978-3-662-44422-1.
  • Watson, Joel. 2013. Strategy: An introduction to game theory. 3. ed. New York: Norton. ISBN: 978-0-393-91838-0.