Difference between revisions of "Strategie"

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(Reine Strategie)
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In der Spieltheorie ist die Strategie eines Spielers eine der Möglichkeiten, die man in einer Umgebung auswählt, in der das Resultat nicht bloß von der eigenen Handlung, stattdessen ebenfalls von den Handlungen anderer abhängt (Polak, 2007).  Die Strategie eines Spielers bestimmt die Handlung, die der Spieler in den verschiedenen Phasen des Spiels ausführen wird. Somit wird unter dem Begriff Strategie der gesamte Spielplan für das komplette Spiel verstanden.
 
In der Spieltheorie ist die Strategie eines Spielers eine der Möglichkeiten, die man in einer Umgebung auswählt, in der das Resultat nicht bloß von der eigenen Handlung, stattdessen ebenfalls von den Handlungen anderer abhängt (Polak, 2007).  Die Strategie eines Spielers bestimmt die Handlung, die der Spieler in den verschiedenen Phasen des Spiels ausführen wird. Somit wird unter dem Begriff Strategie der gesamte Spielplan für das komplette Spiel verstanden.
  
Das Strategiekonzept ist abzugrenzen von einem Spielzug. Unter „Zug“ verstehen wir im Folgenden eine separate Entscheidung eines Spielers zu einem speziellen Zeitpunkt des Spiels.       Der vollständige Verlauf eines Spieles ergibt sich also durch die Abfolge aller von den Spielern ausgeführten Zügen (Winter, 2018). Beispielsweise werden bei einem Schachspiel viele Züge ausgeführt um den Gegner am Ende Schachmatt zu setzen. Die Strategie bei jedem Zug hilft dem Spieler in der jeweiligen Situation eine Entscheidung zu treffen.
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Die Strategie ist abzugrenzen von einem Spielzug. Unter „Zug“ verstehen wir im Folgenden eine separate Entscheidung eines Spielers zu einem speziellen Zeitpunkt des Spiels. Der vollständige Verlauf eines Spieles ergibt sich also durch die Abfolge aller von den Spielern ausgeführten Zügen (Winter, 2018). Beispielsweise werden bei einem Schachspiel viele Züge ausgeführt um den Gegner am Ende Schachmatt zu setzen. Die Strategie auf der anderen Seite hilft dem Spieler, bei jedem Zug, in der jeweiligen Situation eine Entscheidung zu treffen.
  
 
== Strategie Set ==
 
== Strategie Set ==
Unter dem Strategieset versteht man die Strategien, welche einem Spieler während des Spieles zur Verfügung stehen.
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Unter dem Strategieset (auch Strategiemenge genannt) versteht man die Strategien, welche einem Spieler während des Spieles zur Verfügung stehen.
  
 
In dem Strategieset ist die Anzahl der zur Verfügung stehenden Strategien endlich oder unendlich. Zum Beispiel stehen einem Spieler bei dem bekannten Schere-Stein-Papierspiel nur drei verschiedene Strategien zur Verfügung. Das Spiel besteht aus einem einzigen Zug jedes Spielers und die Wahl der Strategie erfolgt ohne Kenntnis des anderen, sodass jeder Spieler eine endliche Strategie hat.  
 
In dem Strategieset ist die Anzahl der zur Verfügung stehenden Strategien endlich oder unendlich. Zum Beispiel stehen einem Spieler bei dem bekannten Schere-Stein-Papierspiel nur drei verschiedene Strategien zur Verfügung. Das Spiel besteht aus einem einzigen Zug jedes Spielers und die Wahl der Strategie erfolgt ohne Kenntnis des anderen, sodass jeder Spieler eine endliche Strategie hat.  
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In der angewandten Spieltheorie sind die Informationen über die Anzahl der Strategiesätze sowie die Auswahl einer Strategie wesentliche Bestandteile, die ein Spiel lösbar und gleichzeitig aussagekräftig machen. Der einzelne Spieler kann das Wissen über das Vorhandensein einer großen Menge an Strategiesätzen nutzen, um die Strategieräume einzuschränken und somit das Spiel einfacher zu gestalten.
 
In der angewandten Spieltheorie sind die Informationen über die Anzahl der Strategiesätze sowie die Auswahl einer Strategie wesentliche Bestandteile, die ein Spiel lösbar und gleichzeitig aussagekräftig machen. Der einzelne Spieler kann das Wissen über das Vorhandensein einer großen Menge an Strategiesätzen nutzen, um die Strategieräume einzuschränken und somit das Spiel einfacher zu gestalten.
  
Beispielsweise kann ein Spieler bei dem oben erläuterten Ultimatum-Spiel im Detail auch folgende Strategien haben:  
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Beispielsweise kann ein Spieler bei dem oben erläuterten Ultimatum-Spiel im Detail auch folgende Strategien haben:
  
1) Angebote von (1€, 3€, 5€ … 17€) ablehnen oder
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1) Angebote von (1€, 3€, 5€ … 17€) ablehnen oder  
  
 
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2) Angebote von (0€, 2€, 4€ … 18€) annehmen.
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== Strategiemenge und Strategiekombination ==
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== Zusammenspiel Strategiemenge und Strategiekombination ==
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Eine spieltheoretische Situation wird für einen Spieler immer dann zu einem Entscheidungsproblem wenn er aus dem Strategieset mehrere Strategien für seinen Zug zur Verfügung hat. Um die Situation genau analysieren zu können muss man zunächst herausfiltern, welche möglichen Strategien den Spieler zur Verfügung stehen. Als '''Strategiemenge''' bezeichnet man somit die Menge aller Strategien, die einem Spieler überhaupt zur Auswahl stehen (Winter, 2019).
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Beispielsweise sind die Strategiemengen bei dem oben aufgeführten Schere-Stein-Papierspiel alle gleich. Ich habe in jedem Zug die Möglichkeit aus drei verschiedenen Strategien zu wählen. Bei dem Schachspiel sind die Mengen jedoch unterschiedlich, da in jedem Zug eine andere verfügbare Menge an Strategien erzeugt wird.
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Die '''Strategiekombination''' (manchmal auch als Strategieprofil bezeichnet) ist eine Reihe von Strategien die die Aktionen in einem Spiel spezifizieren. Da jede Strategie jedes Spielers jeweils einen vollständigen Spielplan darstellt, ergibt sich aus der Kombination von je einer Strategie pro Spieler ein kompletter möglicher Spielverlauf (Winter, 2019). Bei dem normalen Schere-Stein-Papierspiel ergeben sich aus der Strategiemenge somit 9 verschiedene Strategiekombinationen.
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# Schere 1. Stein      [Spieler 2 gewinnt]
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# Schere 2. Papier    [Spieler 1 gewinnt]
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# Schere 3. Stein      [Spieler 2 gewinnt]
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# Papier ...
  
 
== Reine Strategie ==
 
== Reine Strategie ==
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Strenggenommen war bisher nur von ''reinen Strategien'' die Rede, d. h. von Strategien, bei denen sich jeder Spieler stets eindeutig für eine bestimmte Aktion entscheidet. Häufig haben Spiele in reinen Strategien allerdings keine Gleichgewichte. „Schere, Stein, Papier“ beispielsweise hat kein (Nash-)Gleichgewicht in reinen Strategien: Legte ein Spieler sich eindeutig auf ein Symbol fest (etwa „Papier“), würde der andere Spieler das bessere wählen (also hier „Schere“), was der erste antizipiert und sich deswegen eben nicht festlegen wird.
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Eine reine Strategie bietet eine vollständige Definition, wie ein Spieler ein Spiel spielen wird. Insbesondere wird der Zug bestimmt, den ein Spieler in jeder Situation machen wird, in der er sich befinden könnte. Das Strategieset eines Spielers besteht aus den reinen Strategien, die diesem Spieler zur Verfügung stehen.
  
 
== Gemischte Strategie ==
 
== Gemischte Strategie ==
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Einen Ausweg bieten hier ''gemischte Strategien'', bei denen sich der Spieler nicht auf ''eine'' reine Strategie festlegt, sondern mehrere reine Strategien gemäß einer Wahrscheinlichkeitsverteilung mischt. Gemischte Strategien im Spiel „Schere, Stein, Papier“ wären (neben natürlich vielen anderen) etwa „wähle ‚Stein‘ und ‚Schere‘ jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1/2“ oder „wähle ‚Schere‘, ‚Stein‘ und ‚Papier‘ jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1/3“. Spielt man „Schere, Stein, Papier“ um einen festen Geldbetrag und wollen die Spieler ihre erwartete Auszahlung maximieren, so ergibt sich ein Gleichgewicht dadurch, dass beide Spieler diese „Drittel-Strategie“ spielen. Sobald einer der Spieler die Drittel-Strategie spielt, ist es für die erwartete Auszahlung egal, welche Strategie der andere Spieler wählt. Dagegen kann bei jeder anderen Strategie der Gegner eine Strategie wählen, die einen für ihn günstigeren Erwartungswert als die Drittel-Strategie liefert. Umgekehrt bedeutet dies für den Spieler, dass das Abweichen von der Drittel-Strategie für ihn einen Nachteil bedeutet, wenn es dem Gegner bekannt wird.
  
 
=== Illustration ===
 
=== Illustration ===
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Betrachten Sie die Auszahlungsmatrix auf der rechten Seite (als Koordinationsspiel bezeichnet). Hier wählt ein Spieler die Reihe und der andere eine Spalte. Der Reihenspieler erhält die erste Auszahlung, der Spaltenspieler die zweite. Wenn Row A mit der Wahrscheinlichkeit 1 spielt (d. H. Mit Sicherheit A spielen), spielt er eine reine Strategie. Wenn Column wählt, eine Münze zu werfen und A zu spielen, wenn die Münze Köpfe und B landet, wenn die Münze Schwänze landet, dann spielt er angeblich eine gemischte Strategie und keine reine Strategie.
  
 
=== Bedeutung ===
 
=== Bedeutung ===
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John Forbes Nash hat in seiner berühmten Arbeit bewiesen, dass es für jedes endliche Spiel ein Gleichgewicht gibt. Man kann Nash-Gleichgewichte in zwei Typen unterteilen. Reine Strategie Nash-Gleichgewichte sind Nash-Gleichgewichte, bei denen alle Spieler reine Strategien spielen. Gemischte Strategie Nash-Gleichgewichte sind Gleichgewichte, bei denen mindestens ein Spieler eine gemischte Strategie spielt. Während Nash bewiesen hat, dass jedes endliche Spiel ein Nash-Gleichgewicht hat, haben nicht alle Nash-Gleichgewichte mit reinen Strategien. Ein Beispiel für ein Spiel ohne Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien finden Sie unter Matching Pennies. Viele Spiele haben jedoch reine Nash-Gleichgewichte (z. B. das Koordinationsspiel, das Gefangenendilemma, die Hirschjagd). Darüber hinaus können Spiele sowohl reine Strategie- als auch gemischte Strategie-Gleichgewichte aufweisen. Ein einfaches Beispiel ist das reine Koordinationsspiel, bei dem zusätzlich zu den reinen Strategien (A, A) und (B, B) ein gemischtes Gleichgewicht besteht, bei dem beide Spieler beide Strategien mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 spielen.
  
 
=== Umstrittene Bedeutung ===
 
=== Umstrittene Bedeutung ===
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n den 1980er Jahren geriet das Konzept der gemischten Strategien ins Wanken, weil es "intuitiv problematisch" war. [2] Randomisierung, die bei gemischten Strategien von zentraler Bedeutung ist, fehlt die Unterstützung des Verhaltens. Selten treffen Menschen ihre Wahl nach einer Lotterie. Dieses Verhaltensproblem wird durch die kognitive Schwierigkeit verstärkt, dass Menschen ohne die Hilfe eines Zufalls- oder Pseudozufallsgenerators keine zufälligen Ergebnisse erzielen können. [2]
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1991 [3] beschrieb der Spieltheoretiker Ariel Rubinstein alternative Wege zum Verständnis des Konzepts. Die erste, die aufgrund von Harsanyi (1973) [4] als Reinigung bezeichnet wird, geht davon aus, dass die Interpretation der gemischten Strategien lediglich unsere mangelnde Kenntnis des Informations- und Entscheidungsprozesses der Spieler widerspiegelt. Scheinbar zufällige Entscheidungen werden dann als Konsequenzen nicht spezifizierter, auszahlungsunabhängiger exogener Faktoren angesehen. Es ist jedoch unbefriedigend, Ergebnisse zu erzielen, die von nicht näher definierten Faktoren abhängen. [3]
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Eine zweite Interpretation stellt die Spieler vor, die für eine große Population von Agenten stehen. Jeder der Agenten wählt eine reine Strategie, und die Auszahlung hängt vom Anteil der Agenten ab, die jede Strategie auswählen. Die gemischte Strategie repräsentiert somit die Verteilung der von jeder Population gewählten reinen Strategien. Dies ist jedoch keine Rechtfertigung für den Fall, dass es sich bei den Spielern um Einzelagenten handelt.
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Später interpretierten Aumann und Brandenburger (1995) [5] das Nash-Gleichgewicht eher als ein Gleichgewicht in Überzeugungen als in Handlungen. Zum Beispiel würde bei einer Steinpapierschere ein Gleichgewicht der Überzeugungen dazu führen, dass jeder Spieler glaubt, der andere würde mit gleicher Wahrscheinlichkeit jede Strategie spielen. Diese Interpretation schwächt jedoch die Vorhersagekraft des Nash-Gleichgewichts, da es in einem solchen Gleichgewicht für jeden Spieler möglich ist, tatsächlich eine reine Rock-Strategie zu spielen.
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Seitdem ist die Einstellung der Spieltheoretiker zu auf gemischten Strategien basierenden Ergebnissen zwiespältig. Gemischte Strategien werden nach wie vor häufig eingesetzt, um Nash-Gleichgewichte in Spielen zu erzielen, in denen kein Gleichgewicht in reinen Strategien besteht. Das Modell gibt jedoch nicht an, warum und wie die Spieler ihre Entscheidungen zufällig treffen.
  
 
=== Verhaltensstrategien ===
 
=== Verhaltensstrategien ===
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Während eine gemischte Strategie eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über reine Strategien zuweist, weist eine Verhaltensstrategie jedem Informationssatz eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Menge der möglichen Aktionen zu. Während die beiden Konzepte im Kontext normaler Formspiele sehr eng miteinander verwandt sind, haben sie sehr unterschiedliche Auswirkungen auf umfangreiche Formspiele. Grob gesagt wählt eine gemischte Strategie zufällig einen deterministischen Pfad durch den Spielbaum, während eine Verhaltensstrategie als stochastischer Pfad angesehen werden kann.
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Die Beziehung zwischen Misch- und Verhaltensstrategien ist Gegenstand von Kuhns Theorem. Das Ergebnis zeigt, dass es in jedem endlichen Spiel in ausgedehnter Form mit perfektem Rückruf für jeden Spieler und jede gemischte Strategie eine Verhaltensstrategie gibt, die gegen alle Strategieprofile (anderer Spieler) die gleiche Verteilung über die Endknoten hervorruft wie die gemischte Strategie tut. Das Gegenteil ist auch wahr.
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Ein berühmtes Beispiel dafür, warum ein perfekter Rückruf für die Äquivalenz erforderlich ist, geben Piccione und Rubinstein (1997) mit ihrem Spiel Absent-Minded Driver.
  
 
== Kontinuierliche Strategie ==
 
== Kontinuierliche Strategie ==
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Ist die (unendliche) Menge der Aktionen (und somit der Strategien) eines Spielers in einem Spiel nicht abzählbar, spricht man von kontinuierlichen Strategien. Ein Beispiel könnte ein Spiel sein, in dem zwei Spieler eine Zahl aus den reellen Zahlen zwischen 0 und 1 wählen müssen, wobei der mit der größeren Zahl gewinnt. (Um die offensichtliche Wahl 1 hier auszuschließen, sei 1 in dem Spiel verboten.)
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In Spielen mit kontinuierlichen Strategien wird das Spiel oft über sogenannte Reaktionsfunktionen charakterisiert. Das Nash-Gleichgewicht (also das Tupel, das aus den besten Antworten aller Spieler besteht) wird aus den Schnittpunkten der Reaktionsfunktionen der Spieler bestimmt.
  
 
== Strategien der Natur ==
 
== Strategien der Natur ==
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Spiele mit nicht-deterministischen Elementen, sogenannte ''Spiele mit Zufallszügen'' (etwa Würfelspiele), lassen sich als strategische Spiele ''ohne'' Zufallszüge auffassen, an denen der Zufall (die ''Natur'') teilnimmt und in denen dieser selbst eine gemischte Strategie spielt (ein Würfel würde also die Strategie „wähle jede Augenzahl mit Wahrscheinlichkeit 1/6“ spielen). Die „realen“ Spieler antizipieren diese Strategie der Natur bei ihren Entscheidungen. Im Unterschied zu einem „realen“ Spieler kann natürlich nicht davon ausgegangen werden, dass die Natur sich „strategisch“, d. h. rational verhält.
  
 
== Beispiele ==
 
== Beispiele ==

Revision as of 09:48, 4 December 2019

Strategie definiert die Handlungen, die ein Spieler bei jeder Informationsmenge ausführt, bei der er sich entscheiden muss (Dutta 1999, 20).

In der Spieltheorie ist die Strategie eines Spielers eine der Möglichkeiten, die man in einer Umgebung auswählt, in der das Resultat nicht bloß von der eigenen Handlung, stattdessen ebenfalls von den Handlungen anderer abhängt (Polak, 2007). Die Strategie eines Spielers bestimmt die Handlung, die der Spieler in den verschiedenen Phasen des Spiels ausführen wird. Somit wird unter dem Begriff Strategie der gesamte Spielplan für das komplette Spiel verstanden.

Die Strategie ist abzugrenzen von einem Spielzug. Unter „Zug“ verstehen wir im Folgenden eine separate Entscheidung eines Spielers zu einem speziellen Zeitpunkt des Spiels. Der vollständige Verlauf eines Spieles ergibt sich also durch die Abfolge aller von den Spielern ausgeführten Zügen (Winter, 2018). Beispielsweise werden bei einem Schachspiel viele Züge ausgeführt um den Gegner am Ende Schachmatt zu setzen. Die Strategie auf der anderen Seite hilft dem Spieler, bei jedem Zug, in der jeweiligen Situation eine Entscheidung zu treffen.

Strategie Set

Unter dem Strategieset (auch Strategiemenge genannt) versteht man die Strategien, welche einem Spieler während des Spieles zur Verfügung stehen.

In dem Strategieset ist die Anzahl der zur Verfügung stehenden Strategien endlich oder unendlich. Zum Beispiel stehen einem Spieler bei dem bekannten Schere-Stein-Papierspiel nur drei verschiedene Strategien zur Verfügung. Das Spiel besteht aus einem einzigen Zug jedes Spielers und die Wahl der Strategie erfolgt ohne Kenntnis des anderen, sodass jeder Spieler eine endliche Strategie hat.

Bei dem "Kuchenschneidespiel" hat man stattdessen ein unbegrenztes Kontinuum von Strategien. Hierbei schneiden sie den Kuchen irgendwo zwischen null und hundert Prozent.

Das Strategieset wird bei dynamischen Spielen durch die möglichen Regeln begrenzt. Beispielsweise gibt es bei dem Ultimatum-Spiel ein Aktuer (Spieler 1), welcher ein Angebot über die Aufteilung eines vorgegebenes Geldbetrages macht, das Spieler 2 anschließend annehmen oder ablehnen kann (Erlei, 2018). Hierbei gibt es für den zweiten Spieler eine festgelegte bzw. eine begrenzte Anzahl von Strategie, nämlich zu akzeptieren oder abzulehnen.

Auswahl des Strategieset

In der angewandten Spieltheorie sind die Informationen über die Anzahl der Strategiesätze sowie die Auswahl einer Strategie wesentliche Bestandteile, die ein Spiel lösbar und gleichzeitig aussagekräftig machen. Der einzelne Spieler kann das Wissen über das Vorhandensein einer großen Menge an Strategiesätzen nutzen, um die Strategieräume einzuschränken und somit das Spiel einfacher zu gestalten.

Beispielsweise kann ein Spieler bei dem oben erläuterten Ultimatum-Spiel im Detail auch folgende Strategien haben:

1) Angebote von (1€, 3€, 5€ … 17€) ablehnen oder

2) Angebote von (0€, 2€, 4€ … 18€) annehmen.

Durch die Menge der resultierenden Strategien ergeben sich sehr große Strategieräume.

Ein Spieltheoretiker könnte stattdessen glauben, dass er die Auswahl der Strategie auf

1) jedes Angebot ablehnen (≤ x) oder

2) jedes Angebot annehmen (> x); für x 0€, 1€, 2€, 3€ ... 18€)

einschränken kann.

Zusammenspiel Strategiemenge und Strategiekombination

Eine spieltheoretische Situation wird für einen Spieler immer dann zu einem Entscheidungsproblem wenn er aus dem Strategieset mehrere Strategien für seinen Zug zur Verfügung hat. Um die Situation genau analysieren zu können muss man zunächst herausfiltern, welche möglichen Strategien den Spieler zur Verfügung stehen. Als Strategiemenge bezeichnet man somit die Menge aller Strategien, die einem Spieler überhaupt zur Auswahl stehen (Winter, 2019).

Beispielsweise sind die Strategiemengen bei dem oben aufgeführten Schere-Stein-Papierspiel alle gleich. Ich habe in jedem Zug die Möglichkeit aus drei verschiedenen Strategien zu wählen. Bei dem Schachspiel sind die Mengen jedoch unterschiedlich, da in jedem Zug eine andere verfügbare Menge an Strategien erzeugt wird.

Die Strategiekombination (manchmal auch als Strategieprofil bezeichnet) ist eine Reihe von Strategien die die Aktionen in einem Spiel spezifizieren. Da jede Strategie jedes Spielers jeweils einen vollständigen Spielplan darstellt, ergibt sich aus der Kombination von je einer Strategie pro Spieler ein kompletter möglicher Spielverlauf (Winter, 2019). Bei dem normalen Schere-Stein-Papierspiel ergeben sich aus der Strategiemenge somit 9 verschiedene Strategiekombinationen.

  1. Schere 1. Stein [Spieler 2 gewinnt]
  2. Schere 2. Papier [Spieler 1 gewinnt]
  3. Schere 3. Stein [Spieler 2 gewinnt]
  4. Papier ...

Reine Strategie

Strenggenommen war bisher nur von reinen Strategien die Rede, d. h. von Strategien, bei denen sich jeder Spieler stets eindeutig für eine bestimmte Aktion entscheidet. Häufig haben Spiele in reinen Strategien allerdings keine Gleichgewichte. „Schere, Stein, Papier“ beispielsweise hat kein (Nash-)Gleichgewicht in reinen Strategien: Legte ein Spieler sich eindeutig auf ein Symbol fest (etwa „Papier“), würde der andere Spieler das bessere wählen (also hier „Schere“), was der erste antizipiert und sich deswegen eben nicht festlegen wird.

Eine reine Strategie bietet eine vollständige Definition, wie ein Spieler ein Spiel spielen wird. Insbesondere wird der Zug bestimmt, den ein Spieler in jeder Situation machen wird, in der er sich befinden könnte. Das Strategieset eines Spielers besteht aus den reinen Strategien, die diesem Spieler zur Verfügung stehen.

Gemischte Strategie

Einen Ausweg bieten hier gemischte Strategien, bei denen sich der Spieler nicht auf eine reine Strategie festlegt, sondern mehrere reine Strategien gemäß einer Wahrscheinlichkeitsverteilung mischt. Gemischte Strategien im Spiel „Schere, Stein, Papier“ wären (neben natürlich vielen anderen) etwa „wähle ‚Stein‘ und ‚Schere‘ jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1/2“ oder „wähle ‚Schere‘, ‚Stein‘ und ‚Papier‘ jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1/3“. Spielt man „Schere, Stein, Papier“ um einen festen Geldbetrag und wollen die Spieler ihre erwartete Auszahlung maximieren, so ergibt sich ein Gleichgewicht dadurch, dass beide Spieler diese „Drittel-Strategie“ spielen. Sobald einer der Spieler die Drittel-Strategie spielt, ist es für die erwartete Auszahlung egal, welche Strategie der andere Spieler wählt. Dagegen kann bei jeder anderen Strategie der Gegner eine Strategie wählen, die einen für ihn günstigeren Erwartungswert als die Drittel-Strategie liefert. Umgekehrt bedeutet dies für den Spieler, dass das Abweichen von der Drittel-Strategie für ihn einen Nachteil bedeutet, wenn es dem Gegner bekannt wird.

Illustration

Betrachten Sie die Auszahlungsmatrix auf der rechten Seite (als Koordinationsspiel bezeichnet). Hier wählt ein Spieler die Reihe und der andere eine Spalte. Der Reihenspieler erhält die erste Auszahlung, der Spaltenspieler die zweite. Wenn Row A mit der Wahrscheinlichkeit 1 spielt (d. H. Mit Sicherheit A spielen), spielt er eine reine Strategie. Wenn Column wählt, eine Münze zu werfen und A zu spielen, wenn die Münze Köpfe und B landet, wenn die Münze Schwänze landet, dann spielt er angeblich eine gemischte Strategie und keine reine Strategie.

Bedeutung

John Forbes Nash hat in seiner berühmten Arbeit bewiesen, dass es für jedes endliche Spiel ein Gleichgewicht gibt. Man kann Nash-Gleichgewichte in zwei Typen unterteilen. Reine Strategie Nash-Gleichgewichte sind Nash-Gleichgewichte, bei denen alle Spieler reine Strategien spielen. Gemischte Strategie Nash-Gleichgewichte sind Gleichgewichte, bei denen mindestens ein Spieler eine gemischte Strategie spielt. Während Nash bewiesen hat, dass jedes endliche Spiel ein Nash-Gleichgewicht hat, haben nicht alle Nash-Gleichgewichte mit reinen Strategien. Ein Beispiel für ein Spiel ohne Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien finden Sie unter Matching Pennies. Viele Spiele haben jedoch reine Nash-Gleichgewichte (z. B. das Koordinationsspiel, das Gefangenendilemma, die Hirschjagd). Darüber hinaus können Spiele sowohl reine Strategie- als auch gemischte Strategie-Gleichgewichte aufweisen. Ein einfaches Beispiel ist das reine Koordinationsspiel, bei dem zusätzlich zu den reinen Strategien (A, A) und (B, B) ein gemischtes Gleichgewicht besteht, bei dem beide Spieler beide Strategien mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 spielen.

Umstrittene Bedeutung

n den 1980er Jahren geriet das Konzept der gemischten Strategien ins Wanken, weil es "intuitiv problematisch" war. [2] Randomisierung, die bei gemischten Strategien von zentraler Bedeutung ist, fehlt die Unterstützung des Verhaltens. Selten treffen Menschen ihre Wahl nach einer Lotterie. Dieses Verhaltensproblem wird durch die kognitive Schwierigkeit verstärkt, dass Menschen ohne die Hilfe eines Zufalls- oder Pseudozufallsgenerators keine zufälligen Ergebnisse erzielen können. [2]

1991 [3] beschrieb der Spieltheoretiker Ariel Rubinstein alternative Wege zum Verständnis des Konzepts. Die erste, die aufgrund von Harsanyi (1973) [4] als Reinigung bezeichnet wird, geht davon aus, dass die Interpretation der gemischten Strategien lediglich unsere mangelnde Kenntnis des Informations- und Entscheidungsprozesses der Spieler widerspiegelt. Scheinbar zufällige Entscheidungen werden dann als Konsequenzen nicht spezifizierter, auszahlungsunabhängiger exogener Faktoren angesehen. Es ist jedoch unbefriedigend, Ergebnisse zu erzielen, die von nicht näher definierten Faktoren abhängen. [3]

Eine zweite Interpretation stellt die Spieler vor, die für eine große Population von Agenten stehen. Jeder der Agenten wählt eine reine Strategie, und die Auszahlung hängt vom Anteil der Agenten ab, die jede Strategie auswählen. Die gemischte Strategie repräsentiert somit die Verteilung der von jeder Population gewählten reinen Strategien. Dies ist jedoch keine Rechtfertigung für den Fall, dass es sich bei den Spielern um Einzelagenten handelt.

Später interpretierten Aumann und Brandenburger (1995) [5] das Nash-Gleichgewicht eher als ein Gleichgewicht in Überzeugungen als in Handlungen. Zum Beispiel würde bei einer Steinpapierschere ein Gleichgewicht der Überzeugungen dazu führen, dass jeder Spieler glaubt, der andere würde mit gleicher Wahrscheinlichkeit jede Strategie spielen. Diese Interpretation schwächt jedoch die Vorhersagekraft des Nash-Gleichgewichts, da es in einem solchen Gleichgewicht für jeden Spieler möglich ist, tatsächlich eine reine Rock-Strategie zu spielen.

Seitdem ist die Einstellung der Spieltheoretiker zu auf gemischten Strategien basierenden Ergebnissen zwiespältig. Gemischte Strategien werden nach wie vor häufig eingesetzt, um Nash-Gleichgewichte in Spielen zu erzielen, in denen kein Gleichgewicht in reinen Strategien besteht. Das Modell gibt jedoch nicht an, warum und wie die Spieler ihre Entscheidungen zufällig treffen.

Verhaltensstrategien

Während eine gemischte Strategie eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über reine Strategien zuweist, weist eine Verhaltensstrategie jedem Informationssatz eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Menge der möglichen Aktionen zu. Während die beiden Konzepte im Kontext normaler Formspiele sehr eng miteinander verwandt sind, haben sie sehr unterschiedliche Auswirkungen auf umfangreiche Formspiele. Grob gesagt wählt eine gemischte Strategie zufällig einen deterministischen Pfad durch den Spielbaum, während eine Verhaltensstrategie als stochastischer Pfad angesehen werden kann. Die Beziehung zwischen Misch- und Verhaltensstrategien ist Gegenstand von Kuhns Theorem. Das Ergebnis zeigt, dass es in jedem endlichen Spiel in ausgedehnter Form mit perfektem Rückruf für jeden Spieler und jede gemischte Strategie eine Verhaltensstrategie gibt, die gegen alle Strategieprofile (anderer Spieler) die gleiche Verteilung über die Endknoten hervorruft wie die gemischte Strategie tut. Das Gegenteil ist auch wahr. Ein berühmtes Beispiel dafür, warum ein perfekter Rückruf für die Äquivalenz erforderlich ist, geben Piccione und Rubinstein (1997) mit ihrem Spiel Absent-Minded Driver.

Kontinuierliche Strategie

Ist die (unendliche) Menge der Aktionen (und somit der Strategien) eines Spielers in einem Spiel nicht abzählbar, spricht man von kontinuierlichen Strategien. Ein Beispiel könnte ein Spiel sein, in dem zwei Spieler eine Zahl aus den reellen Zahlen zwischen 0 und 1 wählen müssen, wobei der mit der größeren Zahl gewinnt. (Um die offensichtliche Wahl 1 hier auszuschließen, sei 1 in dem Spiel verboten.)

In Spielen mit kontinuierlichen Strategien wird das Spiel oft über sogenannte Reaktionsfunktionen charakterisiert. Das Nash-Gleichgewicht (also das Tupel, das aus den besten Antworten aller Spieler besteht) wird aus den Schnittpunkten der Reaktionsfunktionen der Spieler bestimmt.

Strategien der Natur

Spiele mit nicht-deterministischen Elementen, sogenannte Spiele mit Zufallszügen (etwa Würfelspiele), lassen sich als strategische Spiele ohne Zufallszüge auffassen, an denen der Zufall (die Natur) teilnimmt und in denen dieser selbst eine gemischte Strategie spielt (ein Würfel würde also die Strategie „wähle jede Augenzahl mit Wahrscheinlichkeit 1/6“ spielen). Die „realen“ Spieler antizipieren diese Strategie der Natur bei ihren Entscheidungen. Im Unterschied zu einem „realen“ Spieler kann natürlich nicht davon ausgegangen werden, dass die Natur sich „strategisch“, d. h. rational verhält.

Beispiele

JEL-Klassifikation

Literatur

Bartholomae, Florian; Wiens, Marcus (2016): Spieltheorie, Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch.

Berninghaus, Siegfried K.; Ehrhart, Karl-Martin; Güth, Werner (2010): Strategische Spiele, Eine Einführung in die Spieltheorie.

Ben, Polak (2007): Game Theory: Lecture 1 Transcript ECON 159, Open Yale Courses.

Dutta, Prajit K. (1999). Strategies and games: Theory and practice. Cambridge, Mass. MIT Press. https://b-ok.org/book/2640653/e56341.

Erlei, Mathias (2018): Ultimatumspiel, Gabler Wirtschaftslexikon

Holler, Manfred J.; Illing, Gerhard; Napel, Stefan (2019): Einführung in die Spieltheorie.

Winter, Stefan (2019): Grundzüge der Spieltheorie.