Strategie

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Strategie definiert die Handlungen, die ein Spieler bei jeder Informationsmenge ausführt, bei der er sich entscheiden muss (Dutta 1999, 20).

In der Spieltheorie ist die Strategie eines Spielers eine der Möglichkeiten, die man in einer Umgebung auswählt, in der das Resultat nicht bloß von der eigenen Handlung, stattdessen ebenfalls von den Handlungen anderer abhängt (Polak, 2007). Die Strategie eines Spielers bestimmt die Handlung, die der Spieler in den verschiedenen Phasen des Spiels ausführen wird. Somit wird unter dem Begriff Strategie der gesamte Spielplan für das komplette Spiel verstanden.

Die Strategie ist abzugrenzen von einem Spielzug. Unter „Zug“ verstehen wir im Folgenden eine separate Entscheidung eines Spielers zu einem speziellen Zeitpunkt des Spiels. Der vollständige Verlauf eines Spieles ergibt sich also durch die Abfolge aller von den Spielern ausgeführten Zügen (Winter, 2018). Beispielsweise werden bei einem Schachspiel viele Züge ausgeführt um den Gegner am Ende Schachmatt zu setzen. Die Strategie auf der anderen Seite hilft dem Spieler, bei jedem Zug, in der jeweiligen Situation eine Entscheidung zu treffen.

Strategie Set

Unter dem Strategieset (auch Strategiemenge genannt) versteht man die Strategien, welche einem Spieler während des Spieles zur Verfügung stehen.

In dem Strategieset ist die Anzahl der zur Verfügung stehenden Strategien endlich oder unendlich. Zum Beispiel stehen einem Spieler bei dem bekannten Schere-Stein-Papierspiel nur drei verschiedene Strategien zur Verfügung. Das Spiel besteht aus einem einzigen Zug jedes Spielers und die Wahl der Strategie erfolgt ohne Kenntnis des anderen, sodass jeder Spieler eine endliche Strategie hat.

Bei dem "Kuchenschneidespiel" hat man stattdessen ein unbegrenztes Kontinuum von Strategien. Hierbei schneiden sie den Kuchen irgendwo zwischen null und hundert Prozent.

Das Strategieset wird bei dynamischen Spielen durch die möglichen Regeln begrenzt. Beispielsweise gibt es bei dem Ultimatum-Spiel ein Aktuer (Spieler 1), welcher ein Angebot über die Aufteilung eines vorgegebenes Geldbetrages macht, das Spieler 2 anschließend annehmen oder ablehnen kann (Erlei, 2018). Hierbei gibt es für den zweiten Spieler eine festgelegte bzw. eine begrenzte Anzahl von Strategie, nämlich zu akzeptieren oder abzulehnen.

Auswahl des Strategieset

In der angewandten Spieltheorie sind die Informationen über die Anzahl der Strategiesätze sowie die Auswahl einer Strategie wesentliche Bestandteile, die ein Spiel lösbar und gleichzeitig aussagekräftig machen. Der einzelne Spieler kann das Wissen über das Vorhandensein einer großen Menge an Strategiesätzen nutzen, um die Strategieräume einzuschränken und somit das Spiel einfacher zu gestalten.

Beispielsweise kann ein Spieler bei dem oben erläuterten Ultimatum-Spiel im Detail auch folgende Strategien haben:

1) Angebote von (1€, 3€, 5€ … 17€) ablehnen oder

2) Angebote von (0€, 2€, 4€ … 18€) annehmen.

Durch die Menge der resultierenden Strategien ergeben sich sehr große Strategieräume.

Ein Spieltheoretiker könnte stattdessen glauben, dass er die Auswahl der Strategie auf

1) jedes Angebot ablehnen (≤ x) oder

2) jedes Angebot annehmen (> x); für x 0€, 1€, 2€, 3€ ... 18€)

einschränken kann.

Zusammenspiel Strategiemenge und Strategiekombination

Eine spieltheoretische Situation wird für einen Spieler immer dann zu einem Entscheidungsproblem wenn er aus dem Strategieset mehrere Strategien für seinen Zug zur Verfügung hat. Um die Situation genau analysieren zu können muss man zunächst herausfiltern, welche möglichen Strategien den Spieler zur Verfügung stehen. Als Strategiemenge bezeichnet man somit die Menge aller Strategien, die einem Spieler überhaupt zur Auswahl stehen (Winter, 2019).

Beispielsweise sind die Strategiemengen bei dem oben aufgeführten Schere-Stein-Papierspiel alle gleich. Ich habe in jedem Zug die Möglichkeit aus drei verschiedenen Strategien zu wählen. Bei dem Schachspiel sind die Mengen jedoch unterschiedlich, da in jedem Zug eine andere verfügbare Menge an Strategien erzeugt wird.

Die Strategiekombination (manchmal auch als Strategieprofil bezeichnet) ist eine Reihe von Strategien die die Aktionen in einem Spiel spezifizieren. Da jede Strategie jedes Spielers jeweils einen vollständigen Spielplan darstellt, ergibt sich aus der Kombination von je einer Strategie pro Spieler ein kompletter möglicher Spielverlauf (Winter, 2019). Bei dem normalen Schere-Stein-Papierspiel ergeben sich aus der Strategiemenge somit 9 verschiedene Strategiekombinationen.

  1. Schere 1. Stein [Spieler 2 gewinnt]
  2. Schere 2. Papier [Spieler 1 gewinnt]
  3. Schere 3. Stein [Spieler 2 gewinnt]
  4. Papier ...

Reine Strategie

Bei genauer Betrachtung wurde in den bisherigen Textabschnitten nur von sogenannten reinen Strategien gesprochen. Die reine Strategie zeichnet aus, dass sich jeder Spieler für eine bestimmte Aktion entscheidet. Die reine Strategie ist somit die beste Antwort auf die Strategie des anderen Spielers.

In der Abbildung 1 ist das allgemein bekannte Münzspiel abgebildet. Hierbei entscheidet sich der jeweilige Spieler jede Runde ob er auf Kopf oder Zahl setzt. Von dieser Strategie wird bzw. kann im Verlauf des Spieles nicht mehr abgewichen werden. Häufig besitzen reine Strategien kein Nash-Gleichgewicht. Für das Münzspiel bedeutet das, dass es keine Strategiekombination gibt, mit der ein einzelner Spieler einen Vorteil für sich erzielen kann, indem er allein seine Strategie modifiziert.

Abbildung 1: Kopf oder Zahl Spiel

Gemischte Strategie

Gemischte Strategien sind dadurch charakterisiert, dass durch einen Zufallsmechanismus bestimmt wird, welche Strategie gewählt wird. Benutzt der Spieler einen Zufallsmechanismus, um aus verschiedenen reinen Strategien zu wählen, dann randomisiert er bzw. wählt eine gemischte Strategie (Holler; Illing; Napel, 2019). Um in diesem Fall die beste Strategie herauszufiltern, wird eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gewählt. Hierbei wird jede reine Strategie anaylsiert und eine Wahrscheinlichkeit bestimmt. Anhand dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung hängt die konkrete Realisation, welche Züge ausgeführt werden, ab.

Exemplarisch (andere Möglichkeiten vorhanden) wären im Schere-Stein-Papierspiel die gemischten Strategien wie folgt:

  1. wähle "Stein" und "Schere", Wahrscheinlichkeit: 1/2
  2. wähle "Stein", "Schere" und "Papier", Wahrscheinlichkeit: 1/3

Bei einer gewinnmaximierten Denkweise würden die Spieler versuchen ihre erwartete Auszahlung zu erhöhen. Hierbei ergibt sich ein Nash-Gleichgewicht dadurch, dass beide Spieler die Strategie (2.) verwenden. Sobald einer der Spieler diese Strategie verwendet ist es für die Höhe der Auszahlung egal, welche Strategie der andere Spieler verwendet. Jedoch ist die Strategieauswahl nicht festgelegt und somit kann der Gegner eine Strategie wählen die für ihn einen günstigeren Erwartungswert als die Strategie (2.) hat. Umgekehrt bedeutet das, sollte ein Spieler die Strategie (1.) wählen und wird dies dem Gegner bekannt so ist er ihn gegenüber im Nachteil.

Illustration

In der Abbildung 2 wird die Auszahlungsmatrix eines Koordinationsspieles (Treffpunkte beim verlieren der anderen Person) dargestellt. A steht beispielsweise für den Marktplatz und B für den Bahnhof. In einer reinen Strategie würde sich der Spieler 1 zum Beispiel für den Marktplatz entscheiden. In der gemischten Strategie wägt er anhand der Wahrscheinlichkeit ab welchen Ort er auswählt.

Abbildung 2: Koordinationsspiel

Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung stellt die gemischte Strategie dar.

Beispielsweise wählt Spieler 1 den Marktplatz mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% und Spieler 2 mit einer Wahrscheinlichkeit von 50%. Die Auszahlung beträgt für jeden Spieler 1, da sie sich wiedergefunden haben. Sollte Spieler 1 mit 60% den Bahnhof wählen und Spieler 2 mit 60% den Markplatz beträgt für beide die Auszahlung 0 da sie sich nicht wieder gefunden haben.

Bedeutung

John Forbes Nash hat in seiner berühmten Arbeit bewiesen, dass es für jedes endliche Spiel ein Gleichgewicht gibt. Jedoch haben die reinen Strategien nicht alle ein Nash-Gleichgewicht. Ein Beispiel für ein Spiel ohne Nashgleichgewicht ist das oben angeführte Münzspiel. Viele Spiele haben jedoch ein Nash-Gleichgewicht.

Spiele mit Nash-Gleichgewicht:

- Koordinationsspiel

- Gefangenendilemma

- Hirschjagd

Kritische Würdigung

In den 1980er Jahren geriet das Konzept der gemischten Strategien ins Wanken, weil es "intiutiv" problematisch war (Aumann, 1985). Randomisierung, die bei gemischten Strategien von zentraler Bedeutung ist, fehlt die Komponente des persönlichen Verhaltens. Selten treffen Menschen ihre Entscheidung rein zufällig. Das Verhaltensproblem wird durch die kognitiven Schwierigkeiten verstärkt, dass Menschen ohne die Hilfe eines Zufallsgenerators keine zufälligen Ergebnisse erzielen können (Aumann, 1985).

Im Jahr 1991 erläuterte der Spieltheoretiker Ariel Rubinstein alternative Wege zum Verständnis der Strategie (Rubienstein, 1991). Der erste Ansatz der von Harsanyi beschrieben wurde, beschäftigt sich mit der Annahme das die gemischten Strategien lediglich unsere mangelnde Kenntnis der Informations- und Entscheidungsprozesse der Spieler wiederspiegeln (Harsanyi, 1973). Scheinbar zufällige Entscheidungen werden dann als Konsequenzen nicht spezifizierter, auszahlungsunabhängigier exogener Faktoren angesehen. Dies drückt aus, das Ergebnisse erzielt werden, die von nicht näher definierten Faktoren abhängen.

Später interpretierten Aumann und Brandenburger das Nash-Gleichgewicht eher als ein Gleichgewicht in Überzeugungen als in Handlungen (Aumann; Brandenburger, 1995). Zum Beispiel würde bei dem Stein-Schere-Papierspiel ein Gleichgewicht der Überzeugungen dazu führen, dass jeder Spieler glaubt, der andere würde mit gleicher Wahrscheinlichkeit jede Strategie spielen. Diese Interpretation schwächt jedoch die Vorhersagekraft des Nash-Gleichgewichts, da es in einem solchen Gleichgewicht für jeden Spieler möglich ist, eine reine Strategie zu spielen. Des Weiteren gibt das Modell nicht an, warum und wie die Spieler ihre Entscheidungen zufällig treffen.

Seitdem werden die Ergebnisse der gemischten Strategien von vielen Spieltheoretikern kritisch gesehen. Gemischte Strategien werden jedoch nach wie vor häufig eingesetzt, um Nash-Gleichgewichte in Spielen zu erzielen, in denen kein Gleichgewicht in reinen Strategien besteht.

Verhaltensstrategien

Um die Verhaltensstrategie etwas genauer zu erklären wird der Begriff des perfekten Erinnerungsvermögens herangezogen.

Kann sich ein Spieler an jedem seiner Entscheidungsknoten an alle Informationen, über die er früher verfügte (also insbesondere auch an seine eigenen Spielzüge) erinnern, so zeichnet er sich durch ein perfektes Erinnerungsvermögen (Perfect Recall) aus (Holler; Illing, Napel, 2019).

Verfügt ein Spieler über ein perfektes Erinnerungsvermögen, so reicht es aus, wie Kuhn (1953) gezeigt hat, sich in Extensivformspielen auf sogenannte Verhaltensstrategien (Behavioral Strategies) zu beschränken: An jedem seiner Entscheidungsknoten (bzw. in jeder seiner Informationsmengen) bestimmt der Spieler eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die ihm dort zur Verfügung stehenden Handlungsalternativen (Holler; Illing; Napel, 2019).

Der Unterschied zur gemischten Strategie: Die gemischte Strategie weist eine Wahrscheinlichlichkeitsverteilung über die reinen Strategien zu. Die Verhaltensstrategie weist jedem Informationssatz eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Menge der möglichen Aktionen zu.

Während die beiden Konzepte im Kontext normaler Formspiele sehr eng miteinander verwandt sind, haben sie sehr unterschiedliche Auswirkungen auf umfangreiche Formspiele. Eine gemischte Strategie wählt zufällig einen deterministischen Pfad durch den Spielbaum, während eine Verhaltensstrategie als ein stochastischer Pfad angesehen werden kann.

Kontinuierliche Strategie

Ist die (unendliche) Menge der Handlungen (und somit der Strategien) eines Spielers in einem Spiel nicht abzählbar, wird von kontinuierlichen Strategien gesprochen.

Im bisherigen Verlauf dieses Beitrages ist immer stillschweigend davon ausgegangen worden, dass die Strategiemengen aus einer abzählbaren Anzahl von Strategien bestehen. Theoretisch ist trotz alledem der Fall wahrscheinlich, dass es ein Kontinuum von Strategien gibt. Genaugenommen wurde der Fall bereits im Kapitel "Gemischte Strategien" behandelt:

In gemischten Strategien kann die Wahrscheinlichkeit für die Wahl der einzelnen Strategien kontinuierlich variiert werden, so dass unendlich viele gemischte Strategien zur Verfügung stehen (Rieck, 1993). Das berühmteste Beispiel ist das sogenannte Cournot-Spiel (Cournot, 1838).

Strategien der Natur

Würfelspiele sind beispielsweise Spiele die nicht durch ihre Vorbedingungen eindeutig festgelegt sind. Sie werden auch als sogenannte Spiele mit Zufallszügen verstanden. Hierbei nimmt der Zufall (die Natur) teil und spielt selbst eine gemischte Strategie. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung für das Würfelspiel wäre demzufolge 1/6 für jede Augenzahl.

Die realen Spieler antizipieren jene Strategie der Natur innerhalb ihrer Entscheidungen. Ein realer Spieler verhält sich in der Regel rational und geht strategisch vor um seine Auszahlungen zu maximieren. Bei der Natur kann von so einem Verhalten nicht ausgegangen werden.

Beispiele

+++ Praxisbeispiele +++

JEL-Klassifikation

Literatur

Aumann, Robert (1985): What is Game Theory Trying to accomplish?

Aumann, Robert; Brandenburger, Adam (1995): Epistemic Conditions for Nash Equilibrium

Bartholomae, Florian; Wiens, Marcus (2016): Spieltheorie, Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch.

Berninghaus, Siegfried K.; Ehrhart, Karl-Martin; Güth, Werner (2010): Strategische Spiele, Eine Einführung in die Spieltheorie.

Ben, Polak (2007): Game Theory: Lecture 1 Transcript ECON 159, Open Yale Courses.

Dutta, Prajit K. (1999). Strategies and games: Theory and practice. Cambridge, Mass. MIT Press. https://b-ok.org/book/2640653/e56341.

Erlei, Mathias (2018): Ultimatumspiel, Gabler Wirtschaftslexikon

Harsanyi, John (1973): Games with randomly disturbed payoffs: a new rationale for mixed-strategy equilibrium points"ation of Game Theory

Holler, Manfred J.; Illing, Gerhard; Napel, Stefan (2019): Einführung in die Spieltheorie.

Rieck, Christian (1993): Spieltheorie - Einführung für Wirtschafts- und Sozialwissenschaftler

Rubinstein, Ariel (1991): Comments on the interpretation of Game Theory

Winter, Stefan (2019): Grundzüge der Spieltheorie.