Gemischte Strategie

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Die gemischte Strategie ist in der Spieltheorie eine Strategie, bei der ein Spieler eine zufällige Entscheidung zwischen zwei oder mehr Handlungsmöglichkeiten trifft (Pindyck/Rubinfeld 2015, 612). Gemischte Strategien kennzeichnen sich durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die gegebenen reinen Strategien (Dutta 1999, 104). Dies bedeutet, dass der Spieler eine der gegebenen reinen Strategie mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit wählt. Die Wahl der gespielten Strategie unterliegt damit einem Zufallsmechanismus (Varian 2016, 601).

Ausführliche Definition, Interpretationsweisen und Kritiken

Interpretationen

Neben dieser einführenden Definition bestehen unterschiedliche Wege den Begriff der gemischten Strategie zu interpretieren. In der Literatur haben sich zwei Interpretationsweisen gemischter Strategien durchgesetzt (Rubenstein 1991; Wiese 2002, 139). Die erste Interpretationsweise wurde maßgeblich von Harsanyi (1973) geprägt. In dieser wird davon ausgegangen, dass die Unsicherheit über die exakten Auszahlungen mit einer Variation an reinen Strategien, also einer gemischten Strategie, erwidert wird (Harsanyi 1973, 23). Gemischte Strategien entwickeln sich nach dieser Interpretation also aus der Unsicherheit der Spieler. Basis der zweiten Interpretationsweise bildet die evolutionäre Spieltheorie. Untersuchungsgegenstand der evolutionären Spieltheorie ist die Fortentwicklung von Populationsanteilen innerhalb bestimmter Zeitabschnitte. In dieser Interpretation wird daher davon ausgegangen, dass in der Population, die durch eine Reihe an Agenten dargestellt wird, jeder Agent auf eine reine Strategie programmiert ist. Diese Agenten werden innerhalb eines Zufallsprozess paarweise zusammengeschalten. Durch diesen Mechanismus folgen die Agenten der Annahme, dass der Gegenspieler seine reinen Strategien gemäß der Populationsanteile mischt (Wiese 2002, 139).

Historie

Als Initiator gemischter Strategien wird Emil von Borel, ein Pionier der Spieltheorie, angesehen. In seinen Aufsätzen, die zwischen 1921 und 1927 erschienen, erwähnte er explizit gemischte Strategien (Holler/Illing/Napel 2019, 407). Nach den Einschätzungen von Leonard (2010, 60 zit. nach Holler/Illing/Napel 2019, 407) waren die Ausführungen Borels von einem sehr guten Verständnis vom Gleichgewicht in gemischten Strategien sowie den daraus abgeleiteten Ergebnissen geprägt. Es mangelte jedoch am mathematischen Beweis. Dieser wurde im Jahr 1928 von John von Neumann für alle endlichen Zwei-Personen-Nullsummenspiele erbracht. Dass Borel die Konzepte für reine als auch gemischte Strategien initiierte, erkannte auch von Neumann an, allerdings merkte er an, dass Borel nur den Fall symmetrischer Zwei-Personen-Spiele betrachtete (Holler/Illing/Napel 2019, 407).

Arten

Grundsätzlich kann zwischen zwei Arten gemischter Strategien differenziert werden. Dies ist zum einen die einfache gemischte Strategie und zum anderen die korrespondierende gemischte Strategie. Bei der einfachen gemischten Strategie besteht für jede Handlungsmöglichkeit dieselbe Wahrscheinlichkeit, sie zu spielen. Beispielsweise wäre auf einer bestimmten Anzahl an Zetteln jede Zahl von 1-n einmal geschrieben. Für denjenigen, der einen Zettel zieht, bestünde damit für jede Zahl dieselbe Wahrscheinlichkeit, sie zu ziehen. Bei der korrespondierenden gemischten Strategie ist es hingegen möglich, dass für die unterschiedlichen Handlungsmöglichkeiten unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten vorliegen. Das wäre beispielsweise dann der Fall, wenn eine Zahl mehrfach auf die Zettel geschrieben wird (Dutta 1999, 104).

Bedeutung

Die Relevanz gemischter Strategien ergibt sich daraus, dass nicht in jedem Spiel ein Nash-Gleichgewicht besteht (Watson 2013, 132). Nash ging davon aus, dass in jedem endlichen Spiel ein Gleichgewicht besteht. In bestimmten Spielen ist dies jedoch nur der Fall, wenn mit gemischten Strategien gespielt wird (Holt 2007, 60; Nash 1950 zit. nach Holler/Illing/Napel 2019, 73). Ein prominentes Beispiel hierfür sind sogenannte Matching Pennies Games, bei denen lediglich bei gemischten Strategien ein Nash-Gleichgewicht erreicht wird (Holt 2007, 60). Ein Nash-Gleichgewicht liegt dann vor, wenn eine wechselseitig beste Antwort erzielt wurde (Riechmann 2010, 34). Die optimale gemischte Strategie eines Spielers liegt unter dem Gesichtspunkt des Nash-Gleichgewichts dort, wo der Gegenspieler zwischen seinen reinen Strategien indifferent ist. Eine Indifferenz des Spielers wird dann erreicht, wenn zur Verfügung stehenden reinen Strategien zur gleichen Auszahlung führen (Riechmann 2010, 92).

Kritik

Wie Rubenstein (1991, 912) schon anmerkte, werden gemischte Strategie stets kritisch betrachtet. Darum ist es wenig verwunderlich, dass sowohl Autoren jüngerer Literatur (Holler/Illing/Napel 2019, 76) als auch Autoren älterer Literatur (Harsanyi 1973, 1) Kritik an gemischten Strategien üben. Harsanyi (1973, 1) sieht insbesondere die Instabilität in gemischten Strategien als problematisch an. Die Instabilität ergibt sich daraus, dass Spieler ohne Konsequenzen von der Gleichgewichtsstrategie abweichen können, während die restlichen Spieler beim Gleichgewichtspunkt verweilen. Besonders kritisch ist dies in Fällen, bei denen nur ein Gleichgewichtspunkt in gemischten Strategien, wie bei Matching-Pennies-Spielen, besteht (Harsanyi 1973, 1). Diese Instabilität wird auch als Kritik an gemischten Strategien von Holler/Illing/Napel (2019, 76) benannt.

Ein weiterer Kritikpunkt besteht in der praktischen Anwendbarkeit gemischter Strategien. Es ist anzuzweifeln, dass ein rational denkendes Individuum in ökonomisch relevanten Situationen den Zufallsmechanismus entscheiden lässt (Holler/Illing/Napel 2019, 76). Ein irrationales Verhalten, in dem ein Individuum den Zufallsmechanismus entscheiden lässt, geht entgegen der Intuition eines Menschen. Grundsätzlich möchten Individuen Begründungen für ihre Verhaltensweisen und Entscheidungen liefern können (Rubenstein 1991, 913). Als Entscheidungssituation in der, eine Randomisierung als unwahrscheinlich angesehen werden kann, kann beispielsweise die Entscheidung eines Unternehmens über den Markteintritt (wann, wo, wie) angeführt werden (Holler/Illing/Napel 2019, 76). Die Unternehmensleitung würde ihre Entscheidung, schon allein aufgrund der weitreichenden Folgen, aufgrund bestimmter Fakten, wie beispielsweise dem Konkurrenzverhalten, treffen. Zudem ist es notwendig, dass das Unternehmen seine Entscheidungen vor Interessensgruppen, wie Aktionären, begründen kann. Rosenthal und Radner (1982, 401) sehen in der mangelnden praktischen Anwendbarkeit die Begründung, weshalb die Spieltheorie, in der gemischte Strategien eine Schlüsselrolle spielen, nicht populärer ist.

Anwendungen

Bei gemischten Strategien gilt es zunächst zwischen zwei Typen von Spielen zu unterscheiden. Der erste Typ kennzeichnet sich dadurch, dass nur in gemischten Strategien ein Nash-Gleichgewicht besteht. Spiele dieses Typs werden auch als symmetrische Spiele bezeichnet. Ein Beispiel hierfür sind Matching-Pennies-Spiele. Beim zweiten Typ bestehen hingegen zwei Nash-Gleichgewichte in nicht wiederholten Spielen mit reinen Strategien. Beispielhaft hierfür steht das Battle-of-Sexes-Spiel (Holt 2007, 63).

Matching-Pennies-Game

Grundlage dieses Spieltyps bildet ein Spiel zwischen zwei Personen, bei dem zwei Münzen geworfen werden. Während der eine gewinnt, wenn zweimal dasselbe erscheint, d.h. Kopf-Kopf oder Zahl-Zahl, gewinnt der andere, wenn unterschiedliche Motive erscheinen, d.h. Kopf-Zahl. Wenn man in dieser Konstellation immer dieselbe Strategie wählen würde, würde man sich durchschaubar machen (Holt 2007, 60; Holler/Illing/Napel 2019, 80). Die Spielregeln für dieses Spiel würden lauten: Spieler A gewinnt, wenn die Motive der Münzen gleich sind. Spieler B gewinnt, wenn die Motive der Münzen unterschiedlich sind. Wie könnte die Strategie von Spieler A aussehen? Wählt er Kopf, wird Spieler B immer Zahl wählen und Spieler A verliert. Selbst wenn Spieler A seine Strategie ändert und sich für Zahl entscheidet, ändert Spieler B seine Strategie ebenfalls und wählt diesmal als Antwort Kopf. Beginnt Spieler B, wird Spieler A seine Strategie ebenfalls anpassen. Diese Zusammenhänge lassen sich nochmals an nachstehender Matrize erkennen. Die Auszahlungen M‘s stehen an erster Stelle, während die von C an zweiter Stelle stehen.

M/C Zahl Kopf
Zahl 1; -1 -1; 1
Kopf -1; 1 1; -1

Eigene Darstellung in Anlehnung an: Holt 2007, 60.

Eine alternative Interpretationsweise dieses Spieltyps beschäftigt sich mit der Verfolgung eines Kriminellen von einem Polizisten. Der Kriminelle hat bei der Verfolgungsjagd die Wahl nach Norden oder Süden abzubiegen. Der Polizist möchte ihm folgen, um ihn zu verhaften, der Verbrecher möchte das Umgekehrte erreichen (Holler/Illing/Napel 2019, 80).

Matching-Pennies Game in Anlehnung an: Holt 2007, 62

Dieser Spieltyp hat in nicht gemischten Spielen kein Nash-Gleichgewicht. In gemischten Strategien wird rein intuitiv davon ausgegangen, dass jede reine Strategie mit einer Wahrscheinlichkeit von 50/50 gewählt wird, d.h. Kopf gewinnt in der Hälfte der Fälle und Zahl in der anderen Hälfte. Dieser Punkt entspricht dem Nash-Gleichgewicht in Matching-Pennies-Games mit gemischten Strategien (Holt 2007, 60).

Mathematische Herleitung am Beispiel

M nimmt hierbei mit einer Wahrscheinlichkeit von p an, dass C Kopf spielt. Die Wahrscheinlichkeit 1-p zeigt die Wahrscheinlichkeit für Zahl (Holt 2007, 62). Daraus ergeben sich, wenn man die erwarteten Auszahlungen betrachtet, folgende Gleichungen.

M’s Auszahlungen für Zahl = 1*(1-p)-1(p) = 1-2p

M’s Auszahlungen für Kopf = -1*(1-p)+p = -1+2p

Bei Gleichsetzung ergibt sich p=0,5. Selbiges Resultat wird erzielt, wenn C’s Auszahlungen betrachtet werden (Holt 2007, 62). Es ergibt sich bei Matching-Pennies-Games ein Nash-Gleichgewicht in Ơ(1)= Ơ(2)=0,5. Die erste Intuition kann daher auch auf mathematischem Weg bestätigt werden (Holler/Illing/Napel 2019, 80).

Graphische Herleitung am Beispiel

Selbige Ergebnisse lassen sich erkennen, wenn man dieses Spiel in einer Grafik darstellt.

In dieser Grafik lässt sich erkennen, dass ein Schnittpunkt von 0,5 erreicht wird. Dieser Schnittpunkt entspricht dem bereits mathematisch aufgezeigten Nash-Gleichgewicht bei 0,5. Die orange dargestellte Linie zeigt die beste Antwort von M auf C's Verhalten. Die grün dargestellte Linie zeigt hingegen die besten Antworten von C.

Battle-of-Sexes

Ausgangspunkt dieses Spieltyps bildet die Entscheidung zweier Individuen zwischen verschiedenen Alternativen. So müssten beispielsweise zwei Freunde entscheiden, an welcher Stelle sie sich in einem Park treffen wollen. Mögliche Treffpunkte sind die Ostseite des Parks oder die Westseite des Parks. Während der eine Spieler sich lieber an der Ostseite treffen würde, würde sich der andere lieber an der Westseite treffen (Holt 2007, 63). Nachfolgende Matrize stellt nochmals die Zusammenhänge dar. Die Auszahlungen des Freundes M stehen an erster Stelle. Während die Auszahlungen des Freundes C an zweiter Stelle stehen.

M/C Westseite Ostseite
Westseite 1; 2 0; 0
Ostseite 0; 0 2; 1

Eigene Darstellung in Anlehnung an Holt 2007, 63.

Der Matrize kann entnommen werden, dass sich der Freund M lieber an der Ostseite treffen würde, denn dort würde er seine Auszahlung maximieren. Freund C würde sich jedoch lieber an der Westseite treffen. Hier würde dieser seine Auszahlungen maximieren. Diese beiden Punkte kennzeichnen die beiden Nash-Gleichgewichte. Die in der Matrize mit [0; 0] dargestellten Auszahlungen zeigen, dass beide eher an einem Kompromiss interessiert sind, anstatt an der präferierten Seite des Parks alleine zu stehen (Holt 2007, 63-66).

Doch, welche Wahrscheinlichkeiten würden die Spieler wählen, wenn mit gemischten Strategien gespielt wird?

In einem Experiment konnte festgestellt, dass jeder Spieler, beim Vorliegen einer Matrize mit diesen Auszahlungen, mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 seine präferierte Strategie wählt. Dies ist plausibel, wenn man sich vor Augen führt, dass M, wenn er die Ostseite wählt entweder eine Auszahlung von 2 oder 0 erhält, wenn er die Westseite wählt, würde er entweder eine Auszahlung von 1 oder 0 erhalten. Die präferierte Strategie hat daher größere Aussicht auf höhere Auszahlungen (Holt 2007, 64).

Mathematische Herleitung am Beispiel

Battle of Sexes in Anlehnung an Holt 2007, 67.

Es ist auch hier zielführend die erwarteten Auszahlungen zu betrachten. M erhält mit einer Wahrscheinlichkeit p eine Auszahlung von 1. Es ist jedoch auch möglich, dass M eine Auszahlung von 2 erhält und zwar dann, wenn C die Ostseite mit einer Wahrscheinlichkeit von 1-p wählt (Holt 2007, 65). (p Wahrscheinlichkeit, dass C die Westseite wählt; q Wahrscheinlichkeit, dass M die Ostseite wählt)

M’s erwartete Auszahlungen für Westseite: 0*(1-p)+1*p=0+p

C‘s erwartete Auszahlungen für Westseite: 0*q+2*(1-q)=2-2q

C’s erwartete Auszahlungen für die Ostseite: 0*(1-q)+1*q=0+q

Es kann festgestellt werden, dass bei einer Wahrscheinlichkeit p=2/3 die Auszahlungen für die Alternativen Westseite und Ostseite für M gleich sind. Bei einer Wahrscheinlichkeit p<2/3 sind die Auszahlungen für die Ostseite größer. Umgekehrt gilt, dass bei p>2/3 eine geringere Auszahlung für die Ostseite erzielt wird. Betrachtet man nun C ist davon auszugehen, dass C, wenn er der Annahme folgt, dass M seine präferierte Strategie wählt, die Ostseite wählen wird. Wenn C jedoch davon ausgeht, dass M die Westseite wählt, wird er seine präferierte Strategie spielen. Der Punkt zum Wechsel der Strategien liegt für beide bei einer Wahrscheinlichkeit von 2/3. Am Punkt von 2/3 sind beide zwischen ihren Strategien indifferent. Dies stellt hier das Nash-Gleichgewicht dar (Holt 2007, 65-66).

Graphische Herleitung am Beispiel

An der Grafik lässt sich nochmals erkennen, dass das bereits angesprochene Nash-Gleichgewicht im Punkt 2/3 liegt. In der Grafik wird dies dadurch ersichtlich, dass sich beiden Graphen in diesem Punkt schneiden. Die gestrichelten Linien zeigen hierbei die jeweils besten Antworten der Parteien.

Gemischte Strategien in der Praxis

Die praktische Anwendbarkeit ist einer der größten Kritikpunkte gemischter Strategien. Sie erweisen sich als wenig praktikabel in allen Situationen, in denen nicht der Lotteriemodus entscheidet (Holler/Illing/Napel 2019, 76). Sie sind daher vorrangig bei Glücksspielen zweckmäßig. Dazu zählen Spiele wie beispielsweise Münzwerfen, Würfeln, Urnenziehung oder das Spiel Stein-Schere-Papier.

Andererseits sollte festgehalten werden, dass der Zufallsmechanismus bei gemischten Strategien für eine Unvorhersehbarkeit der Aktionen sorgt, die sich in bestimmten Situationen als vorteilhaft erweisen kann. Beispielhaft kann hier die Wirtschaftsprüfung genannt werden. Wenn ein fauler Manager Kenntnis über eine bevorstehende Wirtschaftsprüfung hätte, so würde er sich explizit auf diese vorbereiten, was wiederum nicht im Interesse des Wirtschaftsprüfers wäre. Die Wirtschaftsprüfung muss daher für den Manager möglichst unvorhersehbar erfolgen (Holt 2007, 59-60).

You-Tube-Videos

StudyBreak. Spieltheorie, gemischte Strategie, Erwarrungsnutzen. Mikroökonomie. Studybreak, 01.12.2016. Zugriff am 02.01.2020. [1]

Xouridas, Stephanos. Gemischte Strategie (Spieltheorie). Stephanos Xouridas, 16.05.2012. Zugriff am 02.01.2020. [2]

Kategorisierung nach der JEL-Klassifikation

C Mathematical and Quantitative Methods

  • C7 Game Theory and Bargaining Theory
    • C720 Noncooperative Games

Literatur

Dutta, Prajit K. 1999. Strategies and games: Theory and practice. Cambridge, Mass. MIT Press.

Harsanyi, John. 1973. Games with randomly disturbed payoffs: a new rationale for mixed-strategy equilibrium points. In International Journal of Game Theory. 2: 1–23. o.O., Physica Verlag.

Holler, Manfred J., Gerhard Illing und Stefan Napel. 2019. Einführung in die Spieltheorie. 8. Auflage. Berlin: Springer Gabler.

Holt, Charles A. 2007. Markets, Games, & Strategic Behavior. Boston, Mass. Pearson/Addison Wesley.

Leonard, Robert. 2010. Von Neumann, Morgenstern, and the Creation of Game Theory. Chess to Social Sciences. 1900-1960. Cambridge et al., Cambridge University.

Nash, John.1950. Equilibrium Points in N-Person Games. In Proceedings of the National Academy of Sciences. 36: 48-49.

Pindyck, Robert S. und Daniel L. Rubinfeld. 2015. Mikroökonomie. 8. Auflage. Hallbergmoos: Pearson.

Riechmann, Thomas. 2010. Spieltheorie. 3. Auflage. München: Vahlen.

Rosental, Robert W. und Radner, Roy. 1982. Private Information and Pure Strategy Equilibrium. In Mathematics of Operations Research. 7 (3): 401-409.

Rubenstein, Ariel. 1991. Comments on the interpretation of Game Theory. In Econometrica. 59 (4): 909–924.

Varian, Hal R. 2016. Grundzüge der Mikroökonomik. 9. Auflage. Berlin: De Gruyter Oldenbourg.

Watson, Joel. 2013. Strategy: An introduction to game theory. 3. ed. New York: Norton.

Wiese, Harald. 2002. Entscheidungs-und Spieltheorie. Berlin: Springer.