Erwartungsnutzen

Der erwartete Nutzen eines Objektes wird aus der Erwartungsnutzenhypothese abgeleitet. Diese Hypothese besagt, dass unter Unsicherheit der gewichtete Durchschnitt aller möglichen Nutzenwerte den Nutzen zu einem bestimmten Zeitpunkt am besten repräsentiert.

Theoretische Grundlagen

Das Konzept des erwarteten Nutzens wurde zuerst von Daniel Bernoulli im Jahr 1738 aufgestellt, der es als Instrument zur Lösung des St. Petersburger Paradoxons benutzte. Bernoulli löste das St. Petersburger Paradoxon, indem er die Unterscheidung zwischen erwartetem Wert und erwartetem Nutzen machte, da letzterer gewichtete Nutzen multipliziert mit Wahrscheinlichkeiten verwendet, anstatt gewichtete Ergebnisse zu verwenden.

Berechnung des Erwartungsnutzen

Die Theorie des Erwartungsnutzens wird als Instrument zur Analyse von Situationen verwendet, in denen Individuen eine Entscheidung treffen müssen, ohne zu wissen, welche Ergebnisse aus dieser Entscheidung resultieren können, d.h. die Entscheidungsfindung unter Unsicherheit. Diese Individuen wählen die Aktion, die zum höchsten erwarteten Nutzen führt, der die Summe der Wahrscheinlichkeiten und des Nutzens über alle möglichen Ergebnisse ist. Die getroffene Entscheidung wird auch von der Risikoaversion des Agenten und dem Nutzen anderer Agenten abhängen.

Die Theorie des Erwartungsnutzens wird als Instrument zur Analyse von Situationen verwendet, in denen Individuen eine Entscheidung treffen müssen, ohne zu wissen, welche Ergebnisse aus dieser Entscheidung resultieren können, d.h. die Entscheidungsfindung unter Unsicherheit. Diese Individuen wählen die Aktion, die zum höchsten erwarteten Nutzen führt, der die Summe der Wahrscheinlichkeiten und des Nutzens über alle möglichen Ergebnisse ist. Die getroffene Entscheidung wird auch von der Risikoaversion des Agenten und dem Nutzen anderer Agenten abhängen.

Erwartungsnutzen liegt vor, wenn die Auszahlung für ein ungewisses Ergebnis genau der durchschnittlichen Auszahlung der zugrunde liegenden gewissen Ergebnisse entspricht. Das lässt sich durch folgendes einfaches Bespiel erklären.

Nehmen wir an, dass der Spieler A die Möglichkeit hat, mit 75% Wahrscheinlichkeit 0 € zu gewinnen, oder mit 25% Wahrscheinlichkeit 100€ zu gewinnen. In diesem Fall wird das Erwartungsnutzen des Spielers A U(A) durch folgende Formel berechnet, was sich von der Summe der Auszahlungen multipliziert durch die jeweiligen Gewinnwahrscheinlichkeiten ergibt.

U(A) = 75% * 0 € + 25%* 100 € = 25 €

Das ist derselbe Gewinn, den der Spieler aus einem einfachen, nicht zufälligen Ergebnis ziehen würde, das ihm bei jedem Spiel 25 € garantierte. Menschen, die zwischen zwei Alternativen mit gleichem durchschnittlichen Geldwert, aber unterschiedlichem Risiko gleichgültig sind, gelten als risikoneutral. In diesem Beispiel können die anderen Spieler den risikolosen Gewinn in Höhe von 25 € wählen, während der Spieler A den riskanteren Weg wählt, wo er entweder 0 € mit einer Wahrscheinlichkeit von 75% oder 100 € mit einer Wahrscheinlichkeit von 25% gewinnen kann, obwohl in beiden Fällen das Erwartungsnutzen 25 € ist. Im Gegensatz zum Spieler A sind die Spieler, die bei unterschiedlichen Optionen mit gleichem Erwartungsnutzen die weniger riskante Option bevorzugen würden, risikoavers. Wie oben beschrieben wurde, sie würden lieber 25 € mit Sicherheit bekommen, als sich dem riskanten 100-Euro-oder-Nichts-Perspektiven zu stellen. Ein solches risikoscheues Verhalten ist in der Theorie der Entscheidungsfindung unter Unsicherheit durchaus üblich.

Der erwartete Nutzen hängt auch mit dem Konzept des marginalen Nutzens zusammen. Der erwartete Nutzen einer Belohnung oder eines Reichtums nimmt ab, wenn eine Person reich ist oder über ausreichenden Reichtum verfügt. In solchen Fällen kann sich eine Person für die sicherere Option entscheiden und nicht für eine risikoreichere.

Betrachtet man zum Beispiel den Fall eines Lotterieloses mit einem erwarteten Gewinn von 1 Million Dollar. Angenommen, eine arme Person kauft den Schein für 1€. Ein wohlhabender Mann bietet an, den Schein für 500.000€ von ihm zu kaufen. Logischerweise hat der Lotteriebesitzer eine 50-50-Chance, von der Transaktion zu profitieren. Es ist wahrscheinlich, dass er sich für die sicherere Option entscheidet, den Schein zu verkaufen und die 500.000 € einzustecken. Dies ist auf den abnehmenden Grenznutzen von Beträgen über 500.000 € für den Ticketinhaber zurückzuführen. Mit anderen Worten, es ist viel profitabler für ihn, von 0 - 500.000 € zu bekommen als von 500.000 - 1 Million €.

Betrachten wir nun dasselbe Angebot, das einem reichen Menschen, möglicherweise einem Millionär, gemacht wurde. Es ist wahrscheinlich, dass der Millionär das Ticket nicht verkaufen wird, weil er hofft, eine weitere Million damit zu verdienen.

Von Neumann–Morgenstern Theorem

Von Neumann-Morgenstern (VNM) Nutzenfunktion, die eine Erweiterung der Theorie der Konsumentenpräferenzen ist, schließt die Verhaltenstheorie gegenüber der Risikobereitschaft der Konsumenten ein. Sie wurde von John von Neumann und Oskar Morgenstern in Theory of Games and Economic Behavior (1944) vorgestellt und geht aus der Erwartungsnutzen-Hypothese hervor. Sie zeigt, dass, wenn ein Konsument mit einer Auswahl von Gegenständen oder Ergebnissen konfrontiert wird, die verschiedenen Zufallsebenen unterliegen, die optimale Entscheidung diejenige sein wird, die den erwarteten Wert des Nutzens (d.h. die Zufriedenheit) maximiert, der aus der getroffenen Wahl abgeleitet wird. Der Erwartungswert ist die Summe der Produkte der verschiedenen Nutzen und der damit verbundenen Wahrscheinlichkeiten. Es wird erwartet, dass der Verbraucher in der Lage ist, die Produkte oder Ergebnisse nach ihrer Präferenz zu ordnen, aber der erwartete Wert wird durch ihre Eintrittswahrscheinlichkeit bedingt sein. Diese Nutzenfunktion besteht aus vier Aktiomen, nämlich Vollständigkeit, Transitivität, Kontinuität und Unabhängigkeit.

Mit der von Neumann-Morgenstern Nutzenfunktion kann risikoaverses, risikoneutrales und risikofreudiges Verhalten der Spieler erklärt werden. Zum Beispiel könnte Privatanleger in einem Jahr eine Investition tätigen, die nach einem Jahr mit bestimmter Wahrscheinlichkeit zum Gewinn von 40, 80 oder 120 Euro führen. Diese Wahrscheinlichkeiten liegen bei 40%, 30% bzw. 30%. So würde der erwartete Gewinnbetrag der Investition 40€(0,4) + 80€(0,3) + 120€(0,3) = 76€ sein. Im folgenden Jahr könnte der Privatanleger die gleiche Investition wieder durchführen, aber für diesen Fall ändern sich die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten für den Gewinn auf 45, 20 und 35 Prozent. Es ist leicht zu überprüfen, dass der erwartete Gewinn immer noch 76€ beträgt, mit anderen Worten, mathematisch gesehen hat sich nichts geändert. Es ist auch wahr, dass die Wahrscheinlichkeiten der niedrigsten und höchsten Auszahlungen auf Kosten der mittleren gestiegen sind, was bedeutet, dass mehr Varianz (oder Risiko) mit den möglichen Auszahlungen verbunden ist. Die Frage, die man dem Privatanleger stellen muss, ist, ob es seinen aus der Investition abgeleiteten Nutzen anpasst, obwohl das Projekt von einem Jahr zum nächsten den gleichen Erwartungswert hat. Wenn Privatanleger beide Iterationen der Investition gleich bewertet, gilt es als risikoneutral. Die Schlussfolgerung ist, dass es gleichermaßen einen garantierten Auszahlungsbetrag von 76€ mit einem beliebigen Betrag von wahrscheinlichen Auszahlungen, deren erwarteter Wert ebenfalls 76€ beträgt, bewertet.

Entscheidung unter Unsicherheit

Nehmen wir an, dass ein Student aus Jena drei Wahlmöglichkeiten hat, um seine Freizeit am Wochenende zu gestalten.

Wahl 1: Der Student kann ein Ticket zum Spiel von RB Leipzig kaufen, was mit gleichen Wahrscheinlichkeiten 10€, 30€, 50€ und 70€ kosten würde.

Wahl 2: Der Student kann diese Zeit für seine Seminararbeit zum Modul Spieltheorie verwenden, was seine Punktzahl um 5, 10, 15 oder 20 Punkte mit den Wahrscheinlichkeiten 70%, 15%,10% und 5% erhöhen könnte.

Wahl 3: Der Student kann einfach zum Sportsbar in der Stadt gehen und dort das Spiel gemütlich mit seinen Freunden anschauen. (Kostenstelle:10 €). (Obwohl diese Wahl nicht unter Unsicherheit passiert, kann man das als Lotterie mit einer Wahrscheinlichkeit 100% betrachten.)

Eine Nutzenfunktion gegenüber Lotterien ist konzeptionell umständlich und viele Menschen haben Schwierigkeiten, solche Präferenzen konsistent zu definieren. Zum Beispiel kann die Art und Weise, wie Alternativen gerahmt werden, sehr wichtig für eine solche Argumentation werden. Außerdem, eine Lotterie hat eine besondere Struktur - es ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über mögliche Ergebnisse. Die Frage ist also, kann die Nutzenfunktion über Lotterien von einem Nutzen abgeleitet werden? Im vorliegenden Beispiel gibt es eine Nutzenfunktion, z.B. U, die dem Ergebnis "Sehen des Leipzig-Spiels bei 10€ pro Ticket" sowie dem Ergebnis "5 weitere Punkte in der Seminararbeit" eine Nutzennummer zuordnet.

Durch die Von Neumann-Morgenstern Nutzenfunktion kann man dieses Beispiel so erklären: Nach VNM- Theorem eine Nutzenfunktion über jede Lotterie kann als der erwartete Nutzen der Ergebnisse, aus denen diese Lotterie besteht, geschrieben werden (unter einigen vernünftigen zusätzlichen Einschränkungen).

Axiome für Erwartungsnutzentheorie

1. vollständige Ordnung: für die Lotterien A und B gilt A > B oder B > A. Das Bedeutet, dass eine von diesen Lotterien immer Vorrang hat.
2. Transitivität: wenn für die Lotterien A, B und C folgende Aussage getroffen sind, nämlich A > B und B > C, dann ist A > C.
3. Stetigkeit: Wenn die Lotterie B zwischen den Lotterien A und C liegt, dann kann man immer eine Kombination von A und C finden, die genauso gut wie Lotterie B ist, d.h. p*A + (1-p)*C = B (p und (1-p) sind die Anteile der Lotterien an der Kombination)
4. Unabhängigkeit: Eine ursprüngliche Präferenz zwischen Lotterien A und B darf nicht ändern, wenn sie beiden mit der Lotterie C kombiniert werden, d.h. wenn A > B ist, dann gilt p*A + (1-p)*C > p*B + (1-p)*C.

Einzelnachweise

https://www.britannica.com/topic/von-Neumann-Morgenstern-utility-function

https://www.investopedia.com/terms/e/expectedutility.asp

https://de.wikipedia.org/wiki/Risikofreude

https://de.wikipedia.org/wiki/Risikoneutralit%C3%A4t

https://en.wikipedia.org/wiki/Risk_aversion

Literatur

Berninghaus, Siegfried K.; Ehrhart, Karl-Martin; Güth, Werner (2010): Strategische Spiele, Eine Einführung in die Spieltheorie. ISBN 978-3-642-11651-3 .

Dixit, Avinash K., Susan Skeath und David Reiley (2015): Games of strategy. 4. ed. New York: W. W. Norton & Co. ISBN: 978-0393919684 .

Dutta, Prajit K. 1999. Strategies and games: Theory and practice. Cambridge, Mass. MIT Press. https://b-ok.org/book/2640653/e56341.

Holler, Manfred J.; Illing, Gerhard; Napel, Stefan (2019): Einführung in die Spieltheorie. ISBN 978-3-642-31963-1 .