Gemischte Strategie

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Die gemischte Strategie ist in der Spieltheorie eine Strategie, bei der ein Spieler eine zufällige Entscheidung zwischen zwei oder mehr Handlungsmöglichkeiten trifft.[1]

Begriffsbestimmung

Der Begriff der gemischten Strategie wurde erstmals von Emile Borel (1921) verwendet und anschließend von John von Neumann (1928) weiterentwickelt.[2]

Das Gegenteil einer gemischten Strategie ist die reine Strategie, also eine Strategie, bei der ein Spieler eine ganz bestimmte Entscheidung trifft oder eine ganz bestimmte Handlung vornimmt.[3]

Der Spieler trifft bei einer gemischten Strategie keine direkte Entscheidung, sondern er wählt einen Zufallsmechanismus, der eine reine Strategie bestimmt.[4] Die Entscheidung unterliegt keinerlei strategischen Kriterien, sondern ist lediglich Produkt des Zufalls.

Existenz eines Nash-Gleichgewichts unter gemischten Strategien

Bei einigen Spielen (vorwiegend bei Glücksspielen) gibt es kein Nash-Gleichgewicht (= ein Zustand eines strategischen Gleichgewichts, von dem ausgehend kein einzelner Spieler für sich einen Vorteil erzielen kann, indem er allein seine Strategie verändert) in reinen Strategien. Jedoch besitzt jedes endliche Spiel mit simultanen Zügen ein Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien.[5] Ein Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien besteht folglich aus einer gemischten Strategie für jeden Spieler, mit der Eigenschaft, dass die gemischte Strategie eines jeden Spielers die beste Antwort auf die gemischten Strategien der anderen Spieler bildet.[6]

Beispiel

2 Spieler haben je eine schwarze und eine weiße Murmel. Die Regeln lauten: Spieler A gewinnt, wenn die Farben der Murmeln beim Ziehen gleich sind (schwarz-schwarz oder weiß-weiß). Spieler B gewinnt, wenn die Farben der Murmeln unterschiedlich sind (weiß-schwarz oder schwarz-weiß). Wie könnte die Strategie von Spieler A aussehen? Wählt er die schwarze Murmel, wird Spieler B immer die Weiße wählen und Spieler A verliert. Selbst wenn Spieler A seine Strategie ändert und sich für die weiße Murmel entscheidet, ändert Spieler B seine Strategie ebenfalls und wählt diesmal als Antwort schwarz – A verliert wieder.

Beginnt Spieler B, wird Spieler A seine Strategie ebenfalls anpassen. Daraus folgt, dass kein Spieler durch die richtige Kombination von Murmeln einen Vorteil erzielen kann. Wenn der Gegner die Strategie errät, kann er immer eine passende Gegenstrategie wählen, die ihm den Sieg sichert und umgekehrt.

Spieler A/ Spieler B schwarz weiß
schwarz 1, -1 -1, 1
weiß -1, 1 1, -1

In diesem beschriebenen Spiel kann es kein Nash-Gleichgewicht geben, wenn beide Spieler eine reine Strategie wählen. Abhilfe kann nur eine randomisierte Auswahl sein, also ein Spiel mittels zufälliger Auswahl der Vorgehensweisen.[7] Nur wenn beide Spieler rein zufällig mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% die weiße oder schwarze Murmel nehmen, gäbe es für keinen den Anreiz von dieser zufälligen Strategie abzuweichen und es entsteht zwangsläufig ein Nash-Gleichgewicht.

Der Beweis:

Der Beweis eines Nashgleichgewichts bei einer gemischten Strategie

Praktisch lässt sich das Problem beim oben beschriebenen Beispiel so lösen, dass beide Spieler die Murmeln aus einem abgedunkelten Gefäß ziehen (Urnenziehung).

Gemischte Strategien in der Praxis

Zufallsstrategien sind nur sinnvoll, wenn reine Strategien keinen Erfolg versprechen. Sie sind zweckmäßig bei Glücksspielen. Dazu zählen Spiele wie beispielsweise Münzwerfen, Würfeln, Urnenziehung oder das Spiel Stein-Schere-Papier.

In der Praxis treten gemischte Strategien selten auf, da es meist primäre Kriterien gibt, die einer Entscheidung zugrunde liegen.

Literatur

  • Harald Wiese: Entscheidungs- und Spieltheorie, S. 199, Springer Verlag, Berlin, 2001, ISBN 3540427473
  • Christian Rieck: Spieltheorie: Eine Einführung, Christian Rieck Verlag, Eschborn, 2008, ISBN 3-924043-91-4
  • Manfred J. Holler Gerhard Illing: Einführung in die Spieltheorie, Springer Verlag, Heidelberg, 2008, ISBN 978-3540693727
  • Robert S. Pindyck/ Daniel L. Rubinfeld: Mikroökonomie, Pearson Studium, München, 2003, ISBN 3-8273-7025-6
  • Gernot Sieg: Spieltheorie, Oldenbourg Verlag, München, 2005, ISBN 978-3486275261
  • Jörg Bewersdorff: Mit Glück, Logik und Bluff: Mathematik im Spiel- Methoden, Ergebnisse und Grenzen, Vieweg+Teubner, Wiesbaden, 2007, ISBN 3-8348-0087-2

Belege

  1. Robert S. Pindyck/ Daniel L. Rubinfeld: Mikroökonomie, S. 662, Pearson Studium, München, 2003, ISBN 3-8273-7025-6.
  2. Jörg Bewersdorff: Mit Glück, Logik und Bluff: Mathematik im Spiel- Methoden, Ergebnisse und Grenzen, S. 250, Vieweg+Teubner, Wiesbaden, 2007, ISBN 3-8348-0087-2.
  3. Robert S. Pindyck/ Daniel L. Rubinfeld: Mikroökonomie, S. 662, Pearson Studium, München, 2003, ISBN 3-8273-7025-6.
  4. Manfred J. Holler Gerhard Illing: Einführung in die Spieltheorie, Springer Verlag, Heidelberg, 2008, ISBN 978-3540693727.
  5. Harald Wiese: Entscheidungs- und Spieltheorie, S. 199, Springer Verlag, Berlin, 2001, ISBN 3540427473.
  6. Gernot Sieg: Spieltheorie, S. 17, Oldenbourg Verlag, München, 2005, ISBN 978-3486275261.
  7. Christian Rieck: Spieltheorie: Eine Einführung, S. 78, Christian Rieck Verlag, Eschborn, 2008, ISBN 3-924043-91-4.